Los siguientes pasos conducen a una solución. El argumento me estoy dando aquí es esencialmente equivalente para el argumento dado por Qiaochu arriba (en los comentarios), pero es más general que es también aplicable para el compacto de la Mentira de los grupos. El punto principal en este sentido es en la aplicación de Peter-Weyl teorema en la solución del Ejercicio 4 a continuación compacto Mentira grupos.
Deje $G$ ser un grupo y vamos a $G'$ denotar el colector de un subgrupo de $G$. Queremos entender cómo $G'$ actúa en una dimensión de las representaciones de $G$:
Ejercicio 1: Vamos a $(\pi,V)$ ser unidimensional representación de $G$. Demostrar que la inducida por la representación de $G'$ es trivial.
El siguiente resultado es fundamental en la teoría de la representación y es aplicable a grupos finitos o, más generalmente, compacto Mentira grupos:
Ejercicio 2: Probar que cada finito-dimensional representación de $G$ es una suma directa de representaciones irreducibles.
Sabemos que cada irreductible representación de $G$ es unidimensional, por supuesto. En particular, cada finito-dimensional representación de $G$ es una suma directa de representaciones tridimensionales.
Ejercicio 3 Demostrar que $G'$ actos trivialmente en cada finito-dimensional representación de $G$.
Recordemos que una representación $(\pi,V)$ $G$ dijo ser fiel si el kernel $\text{ker }\pi$ es el subgrupo trivial de $G$. El siguiente ejercicio puede ser un poco difícil; se puede suponer que en la fe, si lo desea:
Ejercicio 4 Probar que si $G$ es un grupo finito o un compacto de Lie del grupo, a continuación, $G$ posee un número finito de dimensiones de la representación fiel. (Sugerencia: Si $G$ es finito, entonces usted puede comprobar esto mediante un familiar de la representación de $G$. Si $G$ es arbitraria compacto de Lie del grupo, luego de la apelación a la de Peter-Weyl teorema si puede).
El resultado ahora debe ser claro:
Ejercicio 5: Probar que si cada irreductible representación de $G$ es unidimensional, a continuación,$G'=\{e\}$, el subgrupo trivial de $G$, es decir, $G$ es abelian.
Espero que esto ayude!
