$L^\infty((0,T)\times\Omega)$ no es igual a $L^\infty(0,T;L^\infty(\Omega))$ .

Question

Dejemos que $\Omega$ sea un dominio acotado en $\mathbb{R}^n$ . Sabemos que $L^\infty((0,T)\times\Omega)$ no es igual a $L^\infty(0,T;L^\infty(\Omega))$ .

Sin embargo, ¿hay alguna circunstancia en la que podamos decir que una es un subconjunto de la otra? ¿Es realmente sólo la mensurabilidad un problema para identificar los dos espacios juntos?

Por ejemplo, supongamos que $|f(t,\cdot)| \leq C$ a.e. en $\Omega$ por cada $t$ . ¿No implica esto $$\sup_{t \in [0,T]}\lVert f(t,\cdot)\rVert_{L^\infty(\Omega)} \leq C?$$ Así que $f \in L^\infty(0,T;L^\infty(\Omega))$ , siempre y cuando $f$ ¿es medible?

Answer 1

Para completar, pongo un ejemplo de una función en $L^{\infty}([0,1]\times [0,1])$ que no está en $L^\infty([0,1];L^\infty([0,1]))$ . El ejemplo debe ser estándar, pero mi fuente era Ecuaciones diferenciales parciales no lineales con aplicaciones por Tomás Roubicek, según lo sugerido por estudiante . $$f(x,y) = \begin{cases} 1 , &x\le y \\ 0,\quad &x>y \end{cases}$$ Claramente, esto es en $L^{\infty}([0,1]\times [0,1])$ . Por otro lado, el mapa inducido $F:[0,1]\to L^\infty([0,1])$ , a saber $F(t) = \chi_{[0,t]}$ no es medible por Bochner. En efecto, un Bochner medible debe ser esencialmente valorada por separado, pero el rango de $F$ consiste en un conjunto incontable de puntos a distancia $1$ entre sí.

Answer 2

Sí, sólo la mensurabilidad es un problema. Usted tiene $L^\infty(0,T;L^\infty(\Omega)) \subset L^\infty((0,T)\times\Omega)$ . El problema para el caso contrario es sólo la mensurabilidad. Es decir, si $f \in L^\infty((0,T)\times\Omega)$ es $L^\infty(\Omega)$ -medible, pertenece a $L^\infty(0,T;L^\infty(\Omega))$ .