Oh Times, $\otimes$ en álgebra lineal y tensores

Question

¿Puedo obtener alguna aclaración sobre los diferentes significados de $\otimes$ como en las implicaciones unificadoras y separadoras en álgebra lineal básica y tensores?

He aquí algunas de las sobrecargas de este símbolo...

1.1. Producto de matrices de Kronecker :

Si $A$ es un $m \times n$ matriz y $B$ es un $p \times q$ matriz, entonces el producto de Kronecker A B es la $mp \times nq$ matriz de bloques:

$$A\color{red}{\otimes}B=\begin{bmatrix}a_{11}\mathbf B&\cdots&a_{1n}\mathbf B\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}\mathbf B&\cdots&a_{mn}\mathbf B\end{bmatrix}$$

---

1.2. Producto exterior :

$\mathbf u \otimes \mathbf v = \mathbf{uv}^\top = \begin{bmatrix}u_1\\u_2\\u_3\\u_4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_1&v_2&v_3&v_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}u_1v_1&u_1v_2&u_1v_3\\u_2v_1&u_2v_2&u_2v_3\\u_3v_1&u_3v_2&u_3v_3\end{bmatrix}$

---

2. Definición de la espacio tensorial :

$$\begin{align}T^p_q\,V &= \underset{p}{\underbrace{V\color{darkorange}{\otimes}\cdots\color{darkorange}{\otimes} V}} \color{darkorange}{\otimes} \underset{q}{\underbrace{V^*\color{darkorange}{\otimes}\cdots\color{darkorange}{\otimes} V^*}}:=\{T\, |\, T\, \text{ is a (p,q) tensor}\}\\[3ex]&=\{T: \underset{p}{\underbrace{V^*\times \cdots \times V^*}}\times \underset{q}{\underbrace{V\times \cdots \times V}} \overset{\sim}\rightarrow K\}\end{align}$$

---

3. Definición de la producto tensorial :

Se necesita $T\in T_q^p V$ y $S\in T^r_s V$ para que:

$$T\color{blue}{\otimes}S\in T_{q+s}^{p+r}V$$

definido como:

$$\begin{align}&(T\color{blue}{\otimes}S)(\underbrace{ \omega_1,\cdots,\omega_q,\cdots,\omega_{q+s}, v_1,\cdots,v_p,\cdots,v_{p+r}}_\text{'eats'})\\&:= T(\underbrace{\omega_1,\cdots,\omega_q, v_1,\cdots,v_p}_{\text{'eats up' p vec's + q covec's}\rightarrow \text{no.}})\underbrace{\cdot}_{\text{in the field}}S(\underbrace{\omega_{q+1},\cdots,\omega_{q+s}, v_{p+1},\cdots,v_{p+r}}_{\text{'eats up' p vec's and q covec's} \rightarrow\text{no.}})\end{align}$$

---

Un ejemplo de, por ejemplo, alguna operación como $\underbrace{e_{a_1}\color{blue}{\otimes}\cdots\color{blue}{\otimes}e_{a_p}\color{blue}{\otimes} \epsilon^{b_1}\color{blue}{\otimes}\cdots\color{blue}{\otimes}\epsilon^{b_q}}_{(p,q)\text{ tensor}}$ después de conformarse con alguna base podría ser útil. Para mayor claridad, éste es un fragmento de la expresión más desalentadora:

$$ T=\underbrace{\sum_{a_1=1}^{\text{dim v sp.}}\cdots\sum_{b_1=1}^{\text{dim v sp.}}}_{\text{p + q sums (usually omitted)}}\underbrace{\color{green}{T^{\overbrace{a_1,\cdots,a_p}^{\text{numbers}}}_{\quad\quad\quad\quad\underbrace{b_1,\cdots,b_q}_{\text{numbers}}}}}_{\text{a number}}\underbrace{\cdot}_{\text{S-multiplication}}\underbrace{e_{a_1}\color{blue}{\otimes}\cdots\color{blue}{\otimes}e_{a_p}\color{blue}{\otimes} \epsilon^{b_1}\color{blue}{\otimes}\cdots\color{blue}{\otimes}\epsilon^{b_q}}_{(p,q)\text{ tensor}}$$

que muestra cómo recuperar un tensor a partir de sus componentes.

---

Me doy cuenta de que hay una conexión como se indica aquí :

El producto Kronecker de matrices corresponde al producto tensor abstracto de mapas lineales. En concreto, si los espacios vectoriales $V, W, X$ y $Y$ tienen bases

$\{v_1, \cdots, v_m\}, \{w_1,\cdots, w_n\}, \{x_1,\cdots, x_d\},$ y $\{y_1, \cdots, y_e\}$ respectivamente,

y si las matrices $A$ y $B$ representan las transformaciones lineales $S : V \rightarrow X$ y $T : W \rightarrow Y$ respectivamente en las bases apropiadas, entonces la matriz $A B$ representa

el producto tensorial de los dos mapas, $S T : V W X Y$ con respecto a

la base $\{v_1 w_1, v_1 w_2, \cdots, v_2 w_1, \cdots, v_m w_n\}$ de $V W$ y la base de definición similar de $X Y$ con el

propiedad que $A B(v_i w_j) = (Av_i) (Bw_j)$ donde $i$ y $j$ son enteros en el rango adecuado.

Pero sigue siendo difícil de alcanzar...

Answer 1

Si $V$ y $W$ son espacios vectoriales, se puede formar un tercer espacio vectorial a partir de ellos llamado su producto tensorial $V \otimes W$ . El producto tensorial consiste en sumas de ciertos vectores llamados "tensores puros", que se escriben $v \otimes w$ donde $v \in V, w \in W$ con sujeción a determinadas normas, por ejemplo $(v_1 + v_2) \otimes w = v_1 \otimes w + v_2 \otimes w$ . Para consultar la lista completa de estas normas, véase Wikipedia . En la práctica te irá bien si recuerdas lo siguiente:

Si $v_1, \dots v_n$ es una base de $V$ y $w_1, \dots w_m$ es una base de $W$ entonces los tensores puros $v_i \otimes w_j, 1 \le i \le n, 1 \le j \le m$ constituyen la base de $V \otimes W$ . En particular, $\dim V \otimes W = \dim V \times \dim W$ .

Si $T : V_1 \to V_2$ y $S : W_1 \to W_2$ son dos mapas lineales, se puede formar un tercer mapa lineal a partir de ellos que también se denomina su producto tensorial

$$T \otimes S : V_1 \otimes W_1 \to V_2 \otimes W_2.$$

Está completamente determinado por cómo se comporta en tensores puros, que es

$$(T \otimes S)(v \otimes w) = T(v) \otimes S(w).$$

La relación entre estos dos usos del término "producto tensorial" viene dada formalmente por la noción de a functor .

La notación del producto tensorial para mapas lineales es compatible con la notación $v \otimes w$ para tensores puros en el sentido siguiente. Un vector $v \in V$ en un espacio vectorial es lo mismo que un mapa lineal $v : 1 \to V$ del espacio vectorial unidimensional $1$ dado por el campo subyacente a $V$ y si $v : 1 \to V$ y $w : 1 \to W$ son dos vectores en $V, W$ entonces su producto tensorial como mapas lineales $v \otimes w : 1 \otimes 1 \to V \otimes W$ corresponde al tensor puro $v \otimes w$ donde usamos que hay un isomorfismo canónico $1 \otimes 1 \cong 1$ .

El producto de Kronecker es una descripción del producto tensorial de mapas lineales con respecto a una elección de base para todos los espacios vectoriales implicados. Formalmente, con la notación anterior, si

1. $B_1, B_2$ son bases para $V_1, V_2$ ,
2. $C_1, C_2$ son bases para $W_1, W_2$ ,
3. bases dadas $B_i, C_i$ de $V_i, W_i$ escribimos $B_i \otimes C_i$ para la base correspondiente de $V_i \otimes W_i$ como en la zona resaltada más arriba, y
4. escribimos $_{B_2}[T]_{B_1}$ para referirse a la matriz de una transformación lineal $T : V_1 \to V_2$ con respecto a una base $B_1$ de $V_1$ y una base $B_2$ de $V_2$ ,

entonces tenemos

$$_{B_2 \otimes C_2}[T \otimes S]_{B_1 \otimes C_1} = \, _{B_2}[T]_{B_1} \otimes \, _{C_2}[S]_{C_1}$$

donde en el LHS $\otimes$ significa el producto tensorial de mapas lineales y en el lado derecho $\otimes$ es el producto de Kronecker.

Una última observación: la definición de espacios de tensores que das en 2) es una definición terrible que sólo he visto en algunos libros de texto sobre geometría diferencial. Es absolutamente la forma equivocada de pensar en tensores.