Problema Meowtivation y Purrpose
¿Cómo se mide el peso en el espacio? Desde luego, no con una balanza, porque no hay gravedad. Hay que utilizar un aparato especial para deducirlo indirectamente: a través de la oscilación.
Del mismo modo, se trata de medir el valor de un gato, por lo que no se puede medir directamente la capacitancia. Por suerte, hay algunas cosas que sabemos por la física que ocurren en los condensadores y que podemos utilizar para deducir la faradicidad de nuestro felino.
Geomeowtry
Empecemos por examinar la geometría de este problema. No podemos afirmar exactamente que el gato sea un condensador en el sentido tradicional, aunque ciertamente puede almacenar carga. En la práctica, has descrito un sistema combinado de suelo-pata-gato, en el que las patas del gato forman un dieléctrico entre él y el suelo (o la cama, o las sábanas, o lo que sea). El gato es sólo una mitad del sistema, pero no me enrollo.
Así, evitaremos tomar medidas tan drásticas como freír al gato con 10.000 V de cabeza a cola (ya sabemos que podemos modelar un gato como una resistencia). En su lugar, haremos algo bastante inofensivo: pegar el gato en una alfombra aislante (sólo por seguridad) y tirar 10.000 V de gato a tierra.
¿Qué ocurre cuando un cuerpo almacena carga?
- Más carga = más energía. Más energía = más masa.
- Más carga = más iones. Más iones = más fuerza en alguna parte.
Parece que tenemos dos diferentes maneras en que podemos hacer una simple medición.
Meowthed 1: Más carga, más masa
Hagamos una derivación en servilleta de esta brillante revelación de Einstein.
$$ \begin{split} E &= mc^2 \\ m &= \frac{E}{c^2} \quad\text{a little rearrangement} \\ \partial m &= \frac{\partial E}{c^2} \quad\text{convert into differential form} \end{split} $$
Vale, lo que sea, ¿a dónde voy con esto? ¿Lo ves? Ahora podemos relacionar un cambio de masa con un cambio de energía ¡! Ese nefasto E término no es tan aterrador, es equivalente a la cantidad de energía almacenada en el catpacitor.
$$ E_{joules} = C \cdot V \quad \text{(coloumb volts)} \\ 1 C = 1 F \cdot 1 V \\ \therefore E_{joules} = F \cdot V^2 $$
Ahora lo estamos consiguiendo. ¡Combinemos! $$ \begin{split} \partial m &= \frac{\partial[ E ]}{c^2}, \quad E = F \cdot V^2 \\ \partial m &= \frac{\partial[ F \cdot V^2 ] }{c^2} \\ &= \frac{F}{c^2} \partial [ V^2 ] \\ F &= \frac{ \partial m \cdot c^2 }{\partial [ V^2 ] } \end{split} $$
Ahí lo tienes, amigo mío: una fórmula para la capacitancia de un gato que puedes medir con una báscula doméstica y una fuente de tensión, quizá unas mil pilas de 9V en serie. Intentémoslo. Asumiendo que los gatos son similares a los humanos, podemos estimar la capacitancia en alrededor de 100 pF . Veamos qué se puede esperar en 10,000 V un megavoltio.
$$ 100 \text{pF} = \frac{ \partial m \cdot c^2 }{ [ 10^6 \text{V} ]^2 }, \quad \partial m \Rightarrow 1.11 \text{fg} $$
Bueno, si tienes que quejarte de algo, es es Es cierto que podríamos pasar por alto el cambio de masa por la respiración del gato o la muda normal de pelo/piel. Además, podríamos hacer un arco a través de la alfombra aislante a un millón de voltios, pero oye, querías algo fácil de medir, ¿y qué es más fácil que pesar a un gato?
Meowthed 2: Más carga, más fuerza
Necesitamos dos niveles de indirección para esto porque la fuerza puede ser difícil de medir cuando es pequeña (ver arriba). Aunque podría utilizar otra escala con el gato en ella, basémonos en algo sencillo: el hecho de que los gatos siempre caen de pie.
Este hace requieren algunos equipos, concretamente unos grandes imanes. Coge nuestra plataforma de pruebas de la primera (el gato, la alfombra y el plano de tierra) y déjalos caer juntos a través de los imanes.
$$ \vec F = q(\vec E + \vec v \times \vec B) $$
Podemos empezar eliminando el campo eléctrico porque no hemos creado uno específicamente. A continuación, observa que la carga con la que estamos tratando proviene de la capacitancia del gato.
$$ \begin{split} C &= \frac{q}{V} \quad q = CV \\ \vec F &= CV ( \vec v \times \vec B ) \\ C &= \Big ( \frac{1}{V} \Big ) \Big ( \frac{ \vec F }{ \vec v \times \vec B } \Big ) \end{split} $$
Como es trivial de derivar y ya he expuesto básicamente todo el problema por ti, voy a dejar que el lector tenga la satisfacción de esta derivación.
Si empiezas a colocar el gato en posición vertical, éste girará de forma natural al caer para corregir su orientación y aterrizar de pie. Mida la altura y la longitud de su gato y determine la altura a la que debe dejarlo caer sin carga para que haya girado exactamente noventa grados cuando toque el suelo. Repite y afina hasta que el gato no pueda seguir el ritmo: no puede girar lo suficientemente rápido. Ten mucho cuidado aquí porque entran en juego efectos extraños cuando llevas a un gato a este límite.
Sabiendo que el gato se esfuerza por corregir su orientación, ya puedes cargarlo y dejarlo caer, con la bahía de la bomba abierta. Ahora, suponiendo que el gato está energizado y formando un condensador con el plano de tierra, las cargas de su cuerpo deberían haberse separado: unas en sus patas y otras en la parte superior de su peludo lomo. A medida que desciende, cada una de estas cargas experimentará una fuerza a través del campo magnético según la derivación de Lorentz anterior y producirá un par de torsión en el cuerpo del gato que le hará girar con respecto a la alfombra en la que se encuentra.
Continúe aumentando el voltaje a través del gato hasta que el par ejercido coincida con los esfuerzos de su peludo amigo para enderezarse. Cuando el gato ya no pueda girar en absoluto, tendrás todas las variables necesarias.
\$V\$ es la tensión en su caída final. \$\vec F\$ se deriva del par en el gato basado en la rapidez con la que fue capaz de girar antes de aplicar la tensión. Recurra a la física de nivel secundario y a la geometría de su gato en particular para derivar este valor (N.B., esto sólo debe hacerse una vez y puede guardarse para futuras tabulaciones). \$\vec v\$ depende completamente de la gravedad y del momento de la caída en el que se realizaron las mediciones. \$\vec B\$ es la intensidad del campo magnético conocida a partir de los imanes que se utilizan.
Si esto le parece demasiado complicado, simplemente deje caer al gato desde un punto lo suficientemente alto como para que alcance la velocidad terminal antes de iniciar sus observaciones.
Finalmente se obtiene el valor de \$C\$ con nada más que un poco de inquietud, una fuente de tensión y unos ojos agudos.
Conclusión:
Obviamente este es un problema sencillo que la mayoría de los estudiantes de física han hecho, si es que alguna vez lo han hecho real física. Faltan las imágenes, pero es tarde y no puedo dedicar todo mi tiempo a ayudaros en una trivialidad tan básica. Hay muchas más formas de hacer esta medición, así que ponte a pensar y cuéntanos cómo te va.
