Debe el complemento de los contables de la unión de distintos arcos (en el plano) estar conectado?
Un (Jordania) arco es inyectiva imagen de una función continua de$[0,1]$$\Bbb R^2$. Se sabe que, si tengo finitely muchos pares distintos arcos, el complemento de su unión debe estar conectado, e incluso trayectoria-conectado. Sin embargo, esto no es cierto cuando nos permitimos infinitamente muchos arcos (tomar la unión de segmentos de línea de la forma$\{x\}\times[0,1]$$x\in\Bbb R$).
De hecho, la ruta "conectados" parte no es verdad incluso para countably muchos arcos!
Sé de tres contraejemplos (gracias especiales a Balarka y Alessandro):
- Deje $U_r$ ser un cerrado de arco circular de $270$ grados, con la $90^\circ$ apertura hacia arriba, de radio $r$. Deje $D_r$ ser la misma, pero con la abertura hacia abajo. A continuación, el complemento de: $$U_{1/2}\cup D_{2/3}\cup U_{3/4}\cup D_{4/5}\cup\dotsb$$ no es trayectoria-conectado.
- El complemento de: $$\bigcup_{n=1}^\infty(\{1/n\}\times[-n,n])$$ no es trayectoria-conectado. Esto le da un ejemplo hecho de sólo líneas rectas, aunque es ilimitado.
- Deje $S_1=[-1,1]\times\{1\}$ $S_{-1}=[-1,1]\times\{-1\}$ ser la parte superior y la parte inferior de los lados de un cuadrado. Deje $T_{-1,n}=\{-1-\frac1n\}\times[-1,1]$ $T_{1,n}=\{1+\frac1n\}\times[-1,1]$ ser secuencias de segmentos de acercarse a los lados izquierdo y derecho de la misma plaza. A continuación, el complemento de: $$S_{-1}\cup S_1\cup\bigcup_{n=1}^\infty T_{-1,n}\cup\bigcup_{n=1}^\infty T_{1,n}$$ no es trayectoria-conectado. Esto le da un ejemplo de que es acotado, es de líneas rectas, y tiene todas sus líneas de la misma longitud.
Sin embargo, mientras que estos complementos no son todos trayectoria-conectado, todos ellos están conectados. De ahí la pregunta: ¿Debe el complemento de countably muchos distintos arcos de estar conectado?
He pensado acerca de esto todo el día y no he sido capaz de resolverlo. Homología parece inútil, ya que sólo se puede medir componentes de la ruta, no de los componentes conectados. Por otro lado, si reemplazamos $\Bbb R^2$ con otros espacios, puede llegar a ser falsa (por ejemplo, al tomar plano menos abrir los discos de radio $\frac13$ centrado en los números enteros en la $x$-eje), por lo que la prueba debe usar alguna propiedad especial de $\Bbb R^2$.
