¿Cómo puedo encontrar todas las matrices que conmuten con esta matriz?

Question

Me gustaría encontrar todas las matrices que conmuten con la siguiente matriz

$$A = \begin{pmatrix}2&0&0\\ \:0&2&0\\ \:0&0&3\end{pmatrix}$$

Set $AX = XA$, pero todavía no puede encontrar las soluciones de las ecuaciones.

Answer 1

$AX$ duplica las dos primeras filas de $X$ y la tercera fila triplica.

$XA$ duplica las dos primeras columnas de $X$ y la tercera columna triplica. Estos dos deben estar de acuerdo.

Esto nos da una matriz $$X=\left(\begin{matrix}*& * & 0\\*&*&0\\0&0&*\end{matrix}\right)$ $

Donde $*$ puede ser cualquier cosa.

Answer 2

If

$B:= \left( \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right)$,

entonces la matriz se convierte en $A = 2I + B$. Así una matriz $C$ se conmute con $A$ si y sólo si conmuta $C$ $B$. Pero tenga en cuenta

$BC = \left( \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ g & h & i \end{matrix} \right)$

y

$CB = \left( \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & 0 & c \\ 0 & 0 & f \\ 0 & 0 & i \end{matrix} \right)$.

Sigue que $BC = CB$ si y sólo si $c=f = g = h = 0$

Answer 3

Bloque de matrices de proporcionar una información inmediata. Vamos

$$A = \left[\begin{array}{l}2&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{l|l}a&0\\\hline0&3\end{array}\right]$$

La submatriz $a = 2I_2$. Ahora definir el bloque de la matriz $$X = \left[\begin{array}{l|l}b&0\\\hline0&c\end{array}\right]$$ with conformal block sizes. That is, $c=constante de$ y $$b = \left[\begin{array}{l}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{array}\right] $$ ha arbitraria de elementos complejos.

La ecuación a resolver es $$[A,X] = AX - XA = \left[\begin{array}{l|l}a&0\\\hline0&3\end{array}\right] \left[\begin{array}{l|l}b&0\\\hline0&c\end{array}\right] - \left[\begin{array}{l|l}b&0\\\hline0&c\end{array}\right] \left[\begin{array}{l|l}a&0\\\hline0&3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{l|l}0&0\\\hline0&0\end{array}\right]$$

Tenemos dos ecuaciones:

$$ b a = a b$$ $$ 3c = 3c$$

La segunda ecuación es trivial: $c$ es arbitrario. La primera ecuación es justo $$ 2bI_{2} = 2 I_{2} b$$ Ya que la identidad de la matriz de desplazamientos con cada matriz, $b$ matriz es arbitraria.

Para concluir, la solución de la matriz tiene cinco arbitraria de números complejos organizados así: $$X = \left[\begin{array}{ll|l}b_{11}&b_{12}&0\\b_{21}&b_{22}&0\\\hline0&0&c \end{array}\right] $$

Uno ve el beneficio de esta forma en el análisis de las matrices de la forma $$A = \left[\begin{array}{l}c_{i} I_{i}&0&0 & 0\\0&c_{j}I_{j}&0 & 0\\0&0&c_{k}I_{k} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ddots\end{array}\right]$$

Answer 4

>>> from sympy import *
>>> A = diag(2,2,3)
>>> X = MatrixSymbol('X',3,3)
>>> Matrix(A*X - X*A)
Matrix([
[      0,       0, -X[0, 2]],
[      0,       0, -X[1, 2]],
[X[2, 0], X[2, 1],        0]])

Si $\rm A X = X A$, entonces el $x_{13} = x_{23} = x_{31} = x_{32} = 0$. Las otras cinco entradas son sin restricciones.

También podemos vectorizar $\rm A X = X A$, que produce el siguiente sistema lineal homogéneo

$$\left( (\mathrm I_3 \otimes \mathrm A) - (\mathrm A \otimes \mathrm I_3) \right) \mbox{vec} (\mathrm X) = 0_9$$

or,

$$\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \mbox{vec} (\mathrm X) = \begin{bmatrix} 0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\end{bmatrix}$$

Again, we conclude that $ icadas {13} = icadas {23} = icadas {31} = icadas {32} = 0$.