Verdadero falso: cada subspace dimensional 3 $ \Bbb R^{2 \times 2}$ contiene por lo menos una matriz inversible.

Question

Los Estados de pregunta de verdadero o falso: "verdadero falso: cada subspace dimensional 3 $ \Bbb R^{2 \times 2}$ contiene por lo menos una matriz inversible."

Aquí el $ \Bbb R^{2 \times 2}$ representa el espacio de los dos por dos matrices. Parece que esto es cierto, pero no estoy seguro de cómo comprobar o refutar la declaración. (Si es verdadero, entonces es fácil ver que cada subspace dimensional 3 $ \Bbb R^{2 \times 2}$ contiene infinitamente muchos inversible matrices)

Answer 1

Aquí tienes una buena solución con el hecho de que $\Bbb R^{2 \times 2}$ tiene un "dot-producto" dada por $$ \DeclareMathOperator{\tr}{Tr} \langle a,B \rangle = \tr(AB^T) $$ Con eso, podemos describir cualquier dimesnion $3$ subespacio $$ S = \{A : \tr(AM) = 0\} $$ para un fijo distinto de cero de la matriz $M$. Si $M$ es invertible, entonces podemos notar que $$ A = \pmatrix{1&0\\0&-1}M^{-1} $$ es un elemento de $S$. Si $M$ es no invertible, entonces a $M = uv^T$ para los vectores columna $u$$v$. Basta con seleccionar una invertible $A$ tal que $Au$ es perpendicular a $v$.

Answer 2

He aquí una rápida prueba que utiliza las propiedades especiales del campo de $\mathbb{R}$. Considerar el conjunto de matrices de la forma $\begin{pmatrix}a & -b \\ b & a\end{pmatrix}$. Tenga en cuenta que cada distinto de cero de la matriz es invertible, ya que dicha matriz tiene determinante $a^2+b^2$ que es distinto de cero, a menos que $a=b=0$ (aquí es donde usamos el hecho de que nuestro campo es $\mathbb{R}$). Pero estas matrices de la forma a $2$-dimensiones subespacio de $\mathbb{R}^{2\times 2}$, el cual debe tener trivial intersección con cualquier $3$-dimensiones del subespacio. Por lo que cualquier $3$-dimensiones subespacio contiene un valor distinto de cero de la matriz de esta forma, que es invertible.

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OK, ahora, he aquí una más complicada prueba de que funciona en cualquier campo. Deje $V\subseteq\mathbb{R}^{2\times 2}$ $3$- dimensional y deje $\{e_1,e_2\}$ ser una base para $\mathbb{R}^2$. Deje $W$ $2$- dimensiones subespacio de $\mathbb{R}^{2\times 2}$ que consta de todos los $A$ tal que $A(e_1)=0$. Tenga en cuenta que $\dim V=\dim V\cap W+\dim V/(V\cap W)$ $V\cap W$ $V/(V\cap W)$ están en la mayoría de los $2$-dimensional. Así que uno tiene dimensión $1$, y el otro tiene dimensión $2$.

Supongamos $\dim V\cap W=1$$\dim V/(V\cap W)=2$. Deje $A\in V\cap W$ ser distinto de cero, por lo $A(e_1)=0$$A(e_2)\neq 0$. Tenga en cuenta que $\dim V/(V\cap W)=2$ significa que cada elemento de a $\mathbb{R}^{2\times 2}/W$ tiene un representante en $V$. Esto es, para cualquier matriz$B$, $C\in V$ tal que $B-C\in W$, lo que significa que $B(e_1)=C(e_1)$. En particular, la elección de $B$ tal que $B(e_1)$ es linealmente independientes de a $A(e_2)$, hay algunos $C\in V$ tal que $C(e_1)$ es linealmente independientes de a $A(e_2)$. Si $C$ es invertible, hemos terminado. De lo contrario, $C(e_2)$ es un múltiplo de a $C(e_1)$, y por lo $C(e_2)+A(e_2)$ no es un múltiplo de a $C(e_1)$. Tomando $D=C+A$, entonces tenemos que $D(e_1)=C(e_1)$ $D(e_2)=C(e_2)+A(e_2)$ son linealmente independientes. Por lo tanto $D$ es un elemento invertible de $V$.

En el caso de que $\dim V\cap W=2$ $\dim V/(V\cap W)=1$ es similar. Deje $A\in V\setminus (V\cap W)$, lo $A(e_1)\neq 0$. Si $A$ es invertible, hemos terminado; de lo contrario $A(e_2)$ es un múltiplo de a $A(e_1)$. Desde $\dim V\cap W=2$,$W\subset V$. En particular, vamos a $B$ ser una matriz tal que $B(e_1)=0$ $B(e_2)$ no es un múltiplo de a $A(e_1)$. A continuación, $A(e_2)+B(e_2)$ no es un múltiplo de a $A(e_1)$, e $B\in W\subset V$. Por lo $C=A+B\in V$ es invertible desde $C(e_1)=A(e_1)$ $C(e_2)=A(e_2)+B(e_2)$ son linealmente independientes.

(De hecho, con un poco de trabajo puede demostrar que usted siempre puede optar por $e_1$, de modo que usted está en el primer caso, para el segundo caso no es necesario).

Answer 3

Creo que esta es la manera más sencilla de ver, utilizando sólo las operaciones básicas y dimensiones consideraciones. Deje $X$ $3$- dimensional en el subespacio, y deje $$A=\pmatrix{1&0\\0&0}, B=\pmatrix{0&1\\0&0}, C=\pmatrix{0&0\\1&0},D=\pmatrix{0&0\\0&1}$$

Desde $X$ $3$- dimensional, que contiene algunas no trivial de la combinación lineal $aA + dD$. Si $a$ $d$ no son cero, entonces estás hecho; si no, $X$ contiene $A$ o $D$, por lo que suponer sin pérdida de generalidad que contiene $A$. Del mismo modo, asumir WLOG contiene $B$.

Desde $X$ $3$- dimensional que contiene algunas tercer linealmente independientes de la matriz; esta matriz debe tener algunos no-cero de la entrada en su fila inferior. Mediante la adición de múltiplos de $A$$B$, podemos ver que $X$ contiene algunos matriz

$$\pmatrix{0&0\\x&y}$$

Con $x$ o $y$ cero. La adición de este a $A$ o $B$ los rendimientos de una matriz invertible.

Answer 4

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}$ $2 \times 2$ Real de la matriz se puede escribir en forma exclusiva en el formulario $$ \left[\begin{array}{cc} a + c & b - d \\ b + d & a - c \\ \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array}\right] + b\left[\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array}\right] + c\left[\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{array}\right] + d\left[\begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array}\right] $$ para algunos de los números reales $a$, $b$, $c$, y $d$. El conjunto de no-invertible matrices es el lugar $$ \det\left[\begin{array}{cc} a + c & b - d \\ b + d & a - c \\ \end{array}\right] = a^{2} + d^{2} - (b^{2} + c^{2}) = 0, $$ que es un cono en un producto de círculos. (La intersección con la unidad de $3$-esfera es el toro de Clifford.) En particular, no hay tres dimensiones en el subespacio de $\Reals^{2 \times 2}$ está contenida en el conjunto de no-invertible matrices. En consecuencia, en todas las tres dimensiones subespacio de $\Reals^{2 \times 2}$, el conjunto de no-invertible matrices es un cerrado algebraicas conjunto, y el conjunto de invertir matrices es abierto y denso.

Answer 5

Algo inspirado por la respuesta de @omnomnomnom:

Que $S = \{ A \mid tr(AM^T) = 0 \}$ y $M=U\Sigma V^T$ su SVD. Entonces, $A = U TV^T\in S$ si y sólo si $tr(T\Sigma) = 0$. En ese caso por ejemplo la identidad volteado $$T = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix},$ $ que $A=UTV^T$ es invertible.