¿Cómo es "punto" en la geometría definida? Y ¿qué es una "definición matemática"?

Question

¿Cómo es "punto" en la geometría definida? Es decir, cuando decimos "un punto en geometría es una ubicación. ¿No tiene ningún tamaño, es decir, no ancho, no largo y sin profundidad"no es una definición? Si no es una definición, entonces ¿cómo podemos saber si alguna declaración es la definición o no? ¿Cuáles son las características de una definición en matemáticas?

Answer 1

Creo que tu pregunta es más acerca de la axiomática de los sistemas en general. Tal vez esta analogía ayuda: Considerar, por ejemplo, los axiomas que rigen la teoría de conjuntos (llamado "ZFC"). El término "conjunto" también hay indefinido - a pesar de tener la intuición al respecto. Desde allí nos la van a estado varias propiedades que los conjuntos tienen que obedecer.

De manera más general, cuando la definición de un sistema axiomático (independientemente de si es la geometría Euclidiana o la teoría de conjuntos ZFC), se ha "primitivas nociones" (puntos o líneas resp. conjuntos) y, a continuación, que los bienes del estado que se relacionan con las diversas nociones primitivas para cada uno de los otros.
El punto principal es que mientras hacemos uso de nuestra intuición que nos ayudará a encontrar las pruebas y derivar propiedades, en un plano de lo formal, estas son sólo las manipulaciones de símbolos que no están vinculados a nuestra intuición. Que nos permite, si quisiera hacerlo, para reemplazar los nombres de todas las primitivas nociones con otros nombres.

Hilbert es famoso por hacer un comentario, donde se ilustran esta idea llevada al extremo: "Uno debe ser capaz de decir en todo momento, en lugar de puntos, rectas y planos--mesas, sillas, y jarras de cerveza" (fuente: Procedencia de Hilbert cita en la mesa, la silla, la jarra de cerveza , donde se puede encontrar también un poco de la historia).

Answer 2

Nota que dice en Wikipedia que

[...] en la geometría Euclidiana, un punto es una noción primitiva sobre la que la geometría se construye. Siendo una noción primitiva significa que un punto no puede ser definido en términos de previamente definida de objetos. Es decir, un punto se define sólo por algunas propiedades, llamadas axiomas, que debe satisfacer. En particular, los puntos geométricos no tener cualquier longitud, área, volumen, o cualquier otro dimensional atributo. Una interpretación común es que el concepto de un punto se pretende capturar la noción de una ubicación única en el espacio Euclidiano [...]

Así que la razón por la que un punto indefinido es porque es una de las bases sobre las que la Geometría Euclidiana es construido. Si tuviéramos que definir un punto como un "lugar que no tenía el tamaño de decir, que no hay ancho, sin medida, y sin profundidad", que tendríamos que definir los términos de la "anchura", "longitud" y "profundidad", y estos no pueden ser definidas sin necesidad de utilizar puntos de alguna manera, la representación de la definición circular.

En cuanto a lo que cuenta como una definición, puede que desee ver aquí.

Answer 3

Respecto a su definición de "punto" en la geometría, lo que littleO dijo en un comentario es suficiente:

Se han sustituido uno indefinido plazo con otros términos indefinidos.

Para ser más explícito, si se define el "punto" en términos de "ubicación", yo simplemente pido que definen a la "ubicación".

Ahora, esto no se trata de sus otras preguntas.

Si no es una definición, entonces ¿cómo podemos saber si una declaración es la definición o no?

De manera informal, podemos decir que una definición válida es una forma de describir algo que es preciso y sólo implica previamente definido los conceptos. Esto es lo suficientemente bueno como para informales de las matemáticas, pero en realidad hay una completamente definición precisa de "definiciones válidas" en la lógica de primer orden, que es diversamente llamado definitorial de expansión o completo de la abreviatura de energía. Esta regla, básicamente, permite a nombre y luego usar cualquier constante o símbolo de predicado de símbolo o de la función de símbolo que se puede representar de forma única por algunos de primer orden de la fórmula. Por ejemplo, si trabaja dentro de los de primer orden de la Aritmética de Peano más completo de la abreviatura de energía, se puede definir:

$even(n) \overset{def}\equiv \exists k\ ( k+k = n )$.

Y a partir de entonces se puede razonar acerca de los objetos que cumplen la que ahora se define el predicado $even$, y que pueden demostrar los teoremas de participación, tales como:

$\forall n\ ( even(n \times n) \to even(n) )$.

Baste decir que un dispositivo es necesario, en la práctica, de modo que no tenemos una inútil duplicación de contenido. Por supuesto, el teorema anterior podría haberse escrito en una simple aritmética frase sin el uso de $even$, pero está claro que sería mucho más largo y menos informativo.

¿Cuáles son las características de una definición en matemáticas?

El por encima de las preocupaciones de los detalles técnicos de cómo definir formalmente "válido" definición " en la lógica de primer orden, y por lo tanto la mayoría de matemáticas (que se basa en un primer orden de la teoría de conjuntos se llama ZFC). El concepto de la abreviatura de alimentación se extiende fácilmente a otras lógicas de todos modos. Pero hay un segundo problema de los diferentes tipos de definiciones en las matemáticas.

El primer tipo consiste en definir los conceptos dentro de un marco existente. El ejemplo de $even$ es un ejemplo de esto. El segundo tipo consiste en la definición de todo un framework (como un solo concepto)! Por ejemplo, podemos definir una estructura para ser un modelo para la Aritmética de Peano iff obedece a todos los axiomas de la PA. Nótese que esta definición, ¿ no definir lo que es un único número natural que es, pero lo que es la colección de los números naturales junto con las operaciones aritméticas como un todo.

Del mismo modo, en cualquier costumbre axiomatization de la geometría Euclidiana que uno hace no definir qué puntos son, sino que define una estructura es la de una geometría Euclidiana iff se compone de líneas y de puntos (y por lo general números) que satisface ciertos axiomas.

Answer 4

Un punto sería el concepto que se construye la geometría euclidiana, por lo que no hay ningún objeto previamente definido para expresarlo en términos de. El concepto de dimensiones probablemente evolucionó de loci de un punto, por lo que no sería una definición adecuada. Yo diría que una declaración es una definición de si se ha expresado en términos previamente definidos que surgirían del conjunto de axiomas que asume.