¿Cuál de los siguientes números es mayor?

Question

¿Cuál de los siguientes números es mayor? Sin utilizar la calculadora y el logaritmo.

$$7^{55} ,5^{72}$$

Mi intento

$$A=\frac{7^{55} }{5^{55}×5^{17}}=\frac{ 7^{55}}{5^{55}}×\frac{1}{5^{17}}= \left(\frac{7}{5}\right)^{55} \left(\frac{1}{5}\right)^{17}$$

¿Y ahora qué?

Answer 1

Nota: $7^2<2\cdot 5^2$ y $5>2^2$

$7^{55}<7\cdot 5^{54}\cdot 2^{27}<5^{55}\cdot 2^{28}<5^{69}<5^{72}$ según sea necesario

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Con un giro extra en los factores de $3$ podemos mostrar $7^{55}<5^{67}$

Notas adicionales: $3^3>5^2$ y $5^5>3\cdot2^{10}$

$7^{55}<7\cdot 5^{54}\cdot 2^{27}<5^{54}\cdot 2^{30}<5^{52}\cdot 2^{30}\cdot 3^{3}<5^{67}$

Answer 2

Observe que $7^2=49<2\cdot 5^2$ . En este caso, $$ 7^{55}=7\cdot 7^{54}=7\cdot(7^2)^{27}<7\cdot (2\cdot 5^2)^{27}=7\cdot 2^{27}5^{54}. $$ Observe que $2^3<10=2\cdot 5$ . En este caso, $$ 7\cdot 2^{27}5^{54}=7\cdot (2^3)^95^{54}<7\cdot(2\cdot 5)^95^{54}=7\cdot 2^9\cdot 5^{63} $$ Usando eso $2^3<10=2\cdot 5$ de nuevo, obtenemos $$ 7\cdot 2^9\cdot 5^{63}=7\cdot (2^3)^3\cdot 5^{63}<7\cdot (2\cdot 5)^3\cdot 5^{63}=7\cdot 2^3\cdot 5^{66}. $$ Desde $7\cdot 2^3=7\cdot 8=56<125=5^3$ obtenemos $$ 7\cdot 2^3\cdot 5^{66}<5^{69}<5^{72}. $$

Answer 3

De acuerdo, tienes $A = \frac {7^{55}}{5^{72}}=(\frac 75)^{55}\times(\frac 15)^{17}$

bueno, ya que eliges ir por ese camino:

$= (\frac {49}{25})^{27}(\frac 1{5})^7\times [\frac 7{5}]$

$= (2*\frac{49}{50})^{27}(\frac 14\times \frac45)^{17}[\frac 7{5}]$

$=2^{27}\times2^{-34}\times[(\frac{49}{50})^{27}\times (\frac 45)^{17}\times \frac 75]$

Como $\frac {49}{50} < 1$ y $\frac 45 < 1$ entonces

$< 2^{27}\times2^{-34}\times \frac 75$

$= \frac 7{2^7*5} < 1$ .

Así que $7^{55} < 5^{72}$ . Por bastante, en realidad.

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Otra forma de hacerlo sería

$\log 7^{55} = 55 \log 7$ y $\log 5^{72} = 72\log 5$

Y $\log 7 = \frac 12 \log 49 \approx^- \frac 12 \log \frac{100}2 = 1 - \frac {\log 2}2$ . Así que $\log 7^{55} \approx^- 55 - 22\frac 12 \log 2$

$\log 5 = \log \frac {10}2 = 1 - \log2$ . Así que $\log^{72} = 72 - 72\log 2$

Así que $7^{55} ??? 5^{72}$

si $55 - 22\frac 12 \log 2 ???^- 72 - 72\log 2$

$49\frac 12 \log 2 ???^- 17$

Y $\log 2 = \frac 1{10} \log 2^{10} = \frac 1{10} \log 1024 \approx^+ \frac 3{10}$

Así que $49\frac 12 \log 2 \approx^+ 4.95\times 3 < 17$ .

Hay un poco de margen de error ya que $\log 2 > 3/10$ y $\log 7 < 1 - \frac {\log 2} 2$ pero el margen no es significativo.

Answer 4

Considera que $$ \frac{7^{55}}{5^{72}} = 7\left(\frac{7^3}{5^4}\right)^{18} $$ Ahora, el cálculo manual es bastante fácil en el término de corchetes: $7^3=7\times49=343$ y $5^4=25^2=625$ . Por lo tanto, el término entre corchetes es un poco más grande que $1/2$ y ciertamente menos que $1/\!\sqrt{2}$ . Por lo tanto, $$ 7\left(\frac{7^3}{5^4}\right)^{18}<7\left(\frac12\right)^9 = \frac{7}{512}<1 $$

Answer 5

Tenemos $7^4 = 49^2 < 50^2 = 4 \times 5^4 < 5^5$ . Por lo tanto, $$7^{55} < 7^{56} = (7^4)^{14} < (5^5)^{14} = 5^{70} < 5^{72}.$$