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Question

Hace poco me enteré de un hecho interesante acerca de cuál es el valor de un multiplicador de Lagrange representa: supongamos que el máximo de algunos de los verdaderos valores de la función $f(\vec{x})$ sujeto a una restricción $g(\vec{x})=c$ $M$ (de curso, $M$ depende de $c$), que se obtiene a través de multiplicadores de Lagrange (resolución de $\nabla f = \lambda \nabla g$). Entonces, es fácil demostrar (mediante la regla de la cadena) que el multiplicador $\lambda$ puede ser interpretado como el cambio de la máxima con respecto a perturbaciones en el nivel de $g=c$. Es decir, $$ \lambda = \frac{d M}{dc} $$ Creo que esta es una genial resultado y nunca he oído durante mi tiempo como estudiante de pregrado.

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Answer 1

Cuando me enteré de Taylor teorema realmente no haga clic con mí; pensé que era torpe y difícil. Luego vi la más sencilla, intuitiva prueba de Taylor teorema tiene que ser. Si $f \in C^n$

$$f(x) = f(x_0) + \int_{x_0}^x f'(t)$$

Recorrer esta relación y obtenemos

$$f(x) = f(x_0) + \int_{x_0}^x (f'(x_0) + \int_{x_0}^x f''(t))$$

$$f(x) = f(x_0) + \int_{x_0}^x f'(x_0)\,dt + \int_{x_0}^x\int_{x_0}^u f''(t)\,dtdu$$

y, a continuación,

$$f(x) = f(x_0) + \int_{x_0}^x (f'(x_0) + \int_{x_0}^x (f''(x_0) + \int_{x_0}^x f'''(t)))$$ $$ f(x)= f(x_0) + \int_{x_0}^x f'(x_0)\,dt + \int_{x_0}^x\int_{x_0}^u f''(x_0)\,dtdu + \int_{x_0}^x\int_{x_0}^u\int_{x_0}^wf'''(t)\,dtdwdu$$

y así sucesivamente, que se reduce a

$$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + f''(x_0)\frac{(x-x_0)^2}{2} + ... + R_n(x)$$

donde

$$R_n(x) = \int_{x_0}^x\int_{x_0}^x...\int_{x_0}^x f^{(n)}(x) = \frac{1}{n-1!}\int_{x_0}^x f^{(n)}(t)(x-t)^{n-1}\,dt$$

Así que Taylor teorema es realmente sólo reiteró la integración y la derivación de todos los derivados de la aparentemente obvia fórmula

$$f(x) = f(x_0) + \int_{x_0}^x f'(t)$$

Answer 2

Cada hecho básico sobre la computación de los derivados es más fácil de comprender si usted se permite el uso de infinitesimals, el uso de infinitesimals puede ser estrictamente justificados, y no requieren el uso no estándar de análisis. Además, en la práctica, la manera más rápida para calcular derivadas de funciones complicadas por la mano es el uso de infinitesimals.

He aquí un ejemplo al azar. Supongamos que yo quería para calcular la derivada de $\frac{e^t \cos t}{1 - \tan \log (1 + t)}$$t = 0$. Se podría pensar que tendría que utilizar el cociente de la regla, entonces la regla del producto en el numerador, entonces la regla de la cadena dos veces en el denominador. Pero la verdad es que puede hacer algo mucho más rápido, lo que es fingir que $t^2 = 0$, o en otras palabras, tomar a veces en series de Taylor y cortar después de que el término lineal y, a continuación, sólo uso ordinario de álgebra. Esto produce

$$\frac{(1 + t)(1)}{1 - \tan t} = \frac{1 + t}{1 - t} = 1 + 2t$$

(debido a que $(1 + t)(1 - t) = 1$, lo $\frac{1}{1 - t} = 1 + t$). Así que la derivada en $t = 0$$2$. Una táctica similar donde se pretende que $t^3 = 0$ puede ser utilizado para calcular las segundas derivadas, las cuales voy a demostrar en el ejemplo anterior, porque tal vez sólo obtener la primera derivada se veía muy fácil: esta produce

$$\frac{\left( 1 + t + \frac{t^2}{2} \right) \left( 1 - \frac{t^2}{2} \right)}{1 - \tan \left( t - \frac{t^2}{2} \right)} = \frac{1 + t}{1 - t + \frac{t^2}{2}} = (1 + t) \left( 1 + t + \frac{t^2}{2} \right) = 1 + 2t + \frac{3t^2}{2}.$$

Así que la segunda derivada es $3$.

He aquí una más difícil y menos elemental ejemplo. Considere la función $X \mapsto \det X$ donde $X$ es una matriz cuadrada. ¿Cuál es su derivada en la identidad de $X = I$? Así, un estándar de hecho sobre los determinantes dice que

$$\det (1 + t X) = 1 + \text{tr}(X) t + O(t^2)$$

(donde $O(t^2)$ - la notación Big O - es una manera de justificar de forma más rigurosa de lo que estoy haciendo cuando me ignoran de segundo orden y superior en términos del desarrollo en serie de Taylor). El coeficiente del término lineal es $\text{tr}(X)$, por lo que el derivado. Es realmente molesto difícil tratar de hacer este cálculo por escribir la fórmula para el factor determinante en su totalidad y, a continuación, diferenciando; yo nunca lo he probado y no tengo planeado.

Este método de calcular derivadas es tan fácil que usted puede enseñar a una computadora cómo hacerlo.

Answer 3

Nonelementary antiderivatives. Mientras que usted puede haber oído que el antiderivative $$f(x)=\int_{0}^{x} e^{-\frac{t^2}{2}}dt$ $ no es expresable como una función elemental definitivamente no has visto la prueba.

Answer 4

Durante el 1er semestre de cálculo le enseño a mis alumnos sobre diferenciales. Cuando era un estudiante de nadie me dijo cuál es su interpretación geométrica.

Answer 5

Idea errónea acerca de la Regla de L'Hospital

Aprendí acerca de L'Hospital de la Regla (LHR) en mi primer curso de cálculo como un estudiante de secundaria. Para uno de los indeterminado formas, el maestro presenta las condiciones como

Supongamos $f$ $g$ son diferenciables en un eliminados barrio de $x_0$, y $\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$, $\lim_{x\to x_0}g(x)=\infty$, y $g'(x) \ne 0$ eliminado barrio de $x_0$. Si $\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ existe, $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}$ también existe y

$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'x)}$$

El concepto erróneo es que el límite de $f$ que se requiere para ser $\infty$. Este no es el caso. De hecho, el límite de $\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)$ no necesita siquiera existe para LHR para ser válida, siempre que se $\displaystyle g\to \infty$

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EJEMPLO:

Hay muchos ejemplos de aplicación, que podría ser considerado trivial. Aquí hay uno que puede ser menos evidente.

Deje $f(x)=\log(1/x)+\int_0^1\frac{1-t^x}{1-t}\,dt$$g(x)=x$.

Ahora, sin saber siquiera si el límite, $\lim_{x\to \infty}f(x)$ existe o no (en realidad, es igual a $\gamma$, el de Euler-Mascheroni constante), sabemos que $f$ es diferenciable para$x>0$$f'(x)=-\frac1x-\int_0^1\frac{\log(t)t^x}{1-t}\,dt$.

En cuanto a $g$ es diferenciable con $\lim_{x\to \infty}g(x)=\infty$, L'Hospital de la Regla afirma que

$$\begin{align} \lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}&=\lim_{x\to \infty}\frac{\log(1/x)+\int_0^1\frac{1-t^x}{1-t}\,dt}{x}\\\\ &=\lim_{x\to \infty}\frac{-\frac1x-\int_0^1\frac{\log(t)t^x}{1-t}\,dt}{1}\\\\ &=0 \end{align}$$