Sólo he encontrado una pregunta relacionada pero sin respuestas hasta ahora:
Haces algo así:
¿Astuto, no?
"Unario" es sólo un sistema de marcas de conteo, no un sistema numérico propiamente dicho. Se representa el cero sin representar ninguna cantidad.
Una manzana: |
Dos manzanas: ||
No hay manzanas:
Y eso es básicamente todo. Poner cualquier otro símbolo en el sistema para representar un Cero lo convierte en un sistema binario.
En los comentarios, Joshua habla de los delimitadores de cola de cabeza para los sistemas unarios. Puedes usar delimitadores de cola de cabeza para hacer evidente la cantidad cero o para separar grupos de números.
Por ejemplo, se puede escribir "||", "|||" y "" para representar el 2, el 3 y el 0. En este caso, las comillas no forman parte de los números pero nos ayudan a visualizar dónde empieza o termina el número y hacen visible el valor 0.
Tenga en cuenta que "unario" no es realmente un sistema numérico con la misma capacidad de representación que el binario, el hexadecimal, etc. Para que se utilice correctamente como herramienta matemática, hay que hackearlo un poco añadiendo otros símbolos. En ese momento puedes utilizar otra cosa que pueda representar tu problema de una manera más práctica.
Cualquier uso completo de unario tiene una marca de cabeza-cola o de separador de lista, lo que completa esta respuesta.
¡Antes de terminar de leer todo el texto me preguntaba por qué no funcionaba la cita del spoiler!
Como digo en mi respuesta, poner una marca de conteo y no poner una marca de conteo son esencialmente dos símbolos, y no existe un sistema verdaderamente unario.
De hecho, no existe ningún sistema numérico "unario" que sea el análogo a los sistemas de radios fijos (por ejemplo, base $2$ , base $10$ etc.). Un radix, por definición, es un número mayor que $1$ .
Su sistema "unario" no es en realidad más que marcas de conteo. Así que el cero estaría representado por la ausencia de cualquier símbolo. En realidad son cadenas, no números. No puedes sumarlos usando la adición de columnas. Así que realmente tienes
$$-3_{10} = “-111_1”$$ $$-2_{10} = “-11_1”$$ $$-1_{10} = “-1_1”$$ $$0_{10} = “”$$ $$1_{10} = “1_1”$$ $$2_{10} = “11_1”$$ $$3_{10} = “111_1”$$
"No existe un sistema numérico unario" - ¡es tan cierto! un sistema numérico unario sólo utilizaría $0$ después de todo, por ejemplo $$000 = 0\cdot 1^2+0\cdot 1^1+0\cdot 1^0 = 0$$
Y el comentario de goblin explica (en mi opinión) por qué el radix de una base estándar- $n$ debe ser mayor que $1.$ Esto puede presentarse como una definición, pero no es una definición arbitraria.
En efecto, es posible definir una adición columnar incluso en un hipotético sistema unario (que es esencialmente una cadena de concatenación). Esto es lo que se hace: tomar un transferir cada vez que hay que sumar dos símbolos y no bajar el base número de este sistema, que es esencialmente el símbolo que ha elegido. Por ejemplo, al sumar | a ||, primero se suman | y |, para obtener un desbordamiento en la base, luego se anota el símbolo de la base que es | y se lleva | adelante. De esta manera se obtiene || que es, como se esperaba, |+||.
El sistema "unario" está más relacionado con los números romanos que con el sistema decimal o binario.
En cada " $n$ -ario" como binario, ternario, octal, decimal, hexadecimal, etc., los dígitos son $0, 1, \ldots, n-1.$ Si aplicamos esa regla al unario, ya que $n-1 = 0$ el único dígito sería $0$ mismo, y el cero sería el sólo número que podría escribirse.
Para construir una verdadera "base $1$ "según los mismos principios generales que otros sistemas de base. $n$ sistemas no es útil. Por lo tanto, alguien decidió utilizar el nombre "unario" para el sistema de marcas de conteo en su lugar, es decir, ya que sólo puede tener un dígito el dígito sería $1$ y no $0.$ No es de extrañar que este sistema numérico no pueda hacer todo lo que hacen las bases "normales". $n$ sistemas pueden hacer.
Esto es más bien un comentario largo.
En cierto sentido, en realidad denotamos $0$ "incorrectamente" en los sistemas binario y decimal. Permítanme explicar.
Para cada número natural $n$ definir una función $$\#_n : \mathbb{N}^n \rightarrow \mathbb{N}$$ de la siguiente manera:
$$\#_n(a) = \sum_{i=0}^{n-1} a_i 10^i$$
Por ejemplo, podemos pensar en $487$ como abreviatura de la más formal $\#_3(7,8,4)$ . El correspondiente "cómputo" en todos sus gloriosos detalles:
$$\#_3(7,8,4) = (7,8,4)_0 10^0+(7,8,4)_1 10^1+(7,8,4)_2 10^2 = 7 \cdot 10^0+8\cdot 10^1 +4 \cdot 10^2 = 487$$
Bien, preguntémonos ahora: ¿cuáles son las reglas de las formas normales? Seguramente una condición necesaria para ser una forma normal es no tener ninguna $0$ a la derecha, ya que son redundantes:
$$\#_{n+1}(a,0)= \sum_{i=0}^{n} (a,0)_i 10^i = (a,0)_n+\sum_{i=0}^{n-1} (a,0)_i 10^i = 0+\sum_{i=0}^{n-1} a_i 10^i = \#_n(a)$$
Esto sugiere que $0$ no está en forma normal, porque en realidad es una abreviatura de $\#_1(0),$ que, debido a la presencia de ceros redundantes, no está en forma normal. La forma normal para $0$ es en realidad $\#_0().$
Aunque, sinceramente, no me importa demasiado :)
Por cierto, este tipo de notación es bastante útil para hacer cálculos. Por ejemplo, supongamos que intentamos encontrar $67+58$ . Podemos escribir algo así:
$$67+58 = [6,7]+[5,8] = [11,15] = [12,5] = [1,2,5] = 125$$
Esto es muy similar al método de la escuela secundaria de escribir los dos números uno encima del otro, y hacer una suma para cada columna mientras se "lleva" el exceso a la siguiente columna.
@MPW con referencia a mi comentario en su respuesta, por favor considere también la forma en que se representa la adición de columnas aquí. Creo que esto es coherente con lo que estoy tratando de decir.
Si sigo tu respuesta: defines una colección de funciones $\#_n$ y de repente: "¿cuáles son las reglas de las formas normales?" que sigue por "seguramente una condición necesaria". En primer lugar, no parece que hayas definido lo que es una forma normal en este contexto particular, lo que hace difícil decir cuáles son las afirmaciones obvias sobre ellas. En segundo lugar, $\#_0()$ parece indefinido, ya que por definición de $\#_0$ debe llamar a un elemento cero de su argumento, y el argumento vacío no parece tener ningún elemento.
@Ilya, ten en cuenta que $\#_0 : \mathbb{R}^0 \rightarrow \mathbb{R},$ por lo que un $0$ -longue la lista de entradas es realmente correcta.
Aunque puedo ver el argumento de que el cero en unario "debería" estar representado por "" (es decir, no hay nada allí) En cuanto a la representación del cero, yo diría que el cero debería representarse de la misma manera en cualquier otro sistema numérico, es decir, con el "0", con la condición de que debe haber -o bien- ese símbolo -o bien- marcas de conteo, nunca ambos en la misma expresión. El objetivo de introducir el símbolo especial "0" es poder indicar visualmente la presencia de una ausencia (una noción bastante paradójica, en realidad).
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1-1 o 11-11 o 111-111, etc.
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Si tienes una definición, úsala; si no, invéntala. La definición de unario tiene tan poca importancia matemática que dudo que encuentres un consenso significativo. Estoy de acuerdo con la sugerencia de utilizar " $0$ ", o incluso -no se ha sugerido todavía mientras escribo- " $-$ ".
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El sistema unario que describes no es un "sistema numérico posicional" válido (que es lo que son el decimal y el binario). Un espacio en blanco es probablemente la opción más razonable, pero no te sientas retraído por la diferencia de enfoque.
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Tenga en cuenta que en $x$ -al sistema que tiene $x$ -es de $0$ al mayor número entero menor que $x$ . Esto hace que su sistema unario propuesto sea bastante impar.
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@skyking: Definitivamente no es una base- $1$ sistema, pero convencionalmente se llama "unario" de todos modos. Muchos libros de texto sobre máquinas de Turing también utilizan esta representación unaria para facilitar la exposición, pero necesariamente la cinta debe admitir al menos dos "símbolos" (cada celda puede estar en blanco o no), prácticamente por la razón explicada en mi respuesta.