terminación de categoría es idempotent

Question

Esta pregunta pertenece a la categoría primaria de la teoría, así que por favor me perdone si esto es trivial. Creo que incluso leer una prueba de esto hace unas semanas, pero no puedo encontrarlo.

En topología, se tiene la ecuación de $\overline{\overline{A}}=\overline{A}$ de los subconjuntos $A$ a de un espacio topológico $X$. Un análogo teorema de la categoría de teoría sería: vamos a $X$ ser un completo categoría, y $A$ ser una subcategoría de $X$. definir $\overline{A}$ cuando la totalidad de la subcategoría de $X$ consiste de aquellos objetos que son los límites de la pequeña diagramas en $C$, cuyos objetos son en $A$. Tenemos $\overline{\overline{A}}=\overline{A}$?

Vamos a intentarlo: suponga $x_i$ es un diagrama en $\overline{A}$ $(y_{ij})_j$ es un diagrama en $A$ tal que $x_i = \lim_j y_{ij}$. a continuación, $\lim_i x_i = \lim_i \lim_j y_{ij}$ y queremos intercambio de límites. Pero para hacer esto, tenemos que hacer la $y_{ij}$ a un diagrama en dos parámetros $i,j$. Tal vez la afirmación no puede ser comprobado en que modo tan ingenuo?

Es fácil ver que $\overline{A}$ es cerrado bajo productos: con la notación anterior, una de morfismos $(i,j) \to (i',j')$ corresponde a $i=i'$ y un morfismos $j \to j'$. A continuación, $y_{ij}$ es un diagrama en dos parámetros con límite de $lim_i x_i$. por lo tanto, permanece a considerar ecualizadores, pero ¿cómo? El problema aquí es que los morfismos entre dos límites que no puede ser descrito en términos de los factores.

Tal vez habría que ver los ejemplos. Deje $X$ ser la categoría de grupos, y $A$ la categoría de grupos finitos. A continuación, $\overline{A}$ se compone de los grupos que vienen de profinite grupos, que son exactamente el compacto hausdorff, totalmente desconectada grupos topológicos. Ahora la categoría de profinite grupos es completa (debido a esta descripción) y el olvidadizo functor a grupos preserva límites. Así, en este caso, $\overline{\overline{A}} = \overline{A}$. si ponemos $A=\{\mathbb{Z}/n\}$, $X$ como antes, entonces un argumento similar se trabaja con la ayuda de $\mathbb{Z}/n$-módulos.

EDIT: ok david ha dado un contraejemplo. ¿alguien tiene una idea de cómo "arreglar" este? Entonces, ¿qué es el "derecho" de la definición de $\overline{A}$, por lo que el $\overline{\overline{A}} = \overline{A}$? también, Harry le pidió una condición para que esto se convierte en realidad con mi definición.

Answer 1

La respuesta es no. Aquí está mi contraejemplo:

ARGUMENTO SIMPLIFICADO, GRACIAS A las SUGERENCIAS de Reid, Scott Carnahan Y t3suji

Deje $X$ ser la categoría de abelian grupos. Deje $A$ a la totalidad de la subcategoría de los grupos de la forma $(\mbox{finite group}) \oplus (\mathbb{Q}-\mbox{vector space})$.

Deje $D$ ser cualquier diagrama en $A$. Cada objeto $G$ $D$ se descompone como $G_{\mathrm{fin}} \oplus G_{\mathbb{Q}}$. Porque no hay un valor distinto de cero homs a partir de un número finito de grupo a $\mathbb{Q}$ o viceversa, el diagrama de $D$ se descompone en consecuencia como $D_{\mathrm{fin}} \oplus D_{\mathbb{Q}}$. Deje $P$ ser el límite de $D_{\mathrm{fin}}$; este es un pro-finito grupo. Deje $V$ ser el límite de $D_{\mathbb{Q}}$; este es un $\mathbb{Q}$ espacio vectorial. A continuación, $P \oplus V$ es el límite de $D$.

Revisión de un primer $p$. Deje $R \subset \mathbb{Q}$ ser el abelian grupo de números racionales cuyo denominador es relativamente primer a $p$. Observe que $R = \mathbb{Q} \cap \mathbb{Z}_p$, donde la intersección se lleva a cabo en $\mathbb{Q}_p$. El grupo $R$ no es un objeto de $\overline{A}$, porque no es de la forma $P \oplus V$ anterior.

Deje $W$ ser el conjunto de todos los lineales de los mapas de $\mathbb{Q}_p \to \mathbb{Q}$ para que el elemento $1$ $\mathbb{Q}_p$ es enviado a el elemento $1$$\mathbb{Q}$. Suponiendo que el axioma de elección, el subespacio de $\mathbb{Q}_p$ donde todos los mapas en $W$ coinciden es $\mathbb{Q}$.

Considere el diagrama en $\overline{A}$ cuyos objetos se $\mathbb{Z}_p$$\mathbb{Q}$, y cuyos mapas son las restricciones a $\mathbb{Z}_p$ de los mapas en $W$. A continuación, el ecualizador de este diagrama es $\mathbb{Z}_p \cap \mathbb{Q}$. Como se observó anteriormente, esto es $R$, que no es en $\overline{A}$.

Answer 2

La definición correcta es algo trivial: tomar $\bar A$ a ser la intersección de todas subcategorías completos de C que contiene A y que es cerrado en C bajo límites. Claramente, si A ya fue cerrada bajo límites, entonces $A = \bar A$.

La pregunta es entonces, cuando puede uno dar una descripción más concreta de $\bar A$.

Answer 3

La respuesta a tu pregunta es: No.

Dejar que Un ser completo categoría y la M ser una subcategoría. Asumir plena y isomorfismo cerrado para simplificar las cosas. Formulario de la subcategoría C(M) como el completo iso-cerrado subcategoría generados por los objetos de M junto con los límites de todos los pequeños diagramas en M. C(M) completa? No necesariamente. No tengo un ejemplo por mí, así que sólo tienes que tomar mi palabra para ella. Hacer la mejor cosa siguiente: a C(C(M)) = C^2(M). Es C^2(M) completa? No necesariamente (C(M) no estaba así que ¿por qué C^2(M) ser, ¿verdad?). Usted debe ver a dónde va esto. Uno se mantiene iteración en la C construcción en el transfinito rango hasta que finalmente se estabiliza (por ejemplo, cuando el cardenal del ambiente categoría).

Transfinito construcciones de las terminaciones son... feo (para decirlo suavemente). Hay todo tipo de complicaciones de la técnica. Para un sabor, lea el capítulo local presentable categorías en Borceux del segundo volumen. La finalización de las categorías menores de las clases de (co)límites ha sido intensamente estudiada por algunos teóricos de la categoría, más notablemente Max Kelly. Su libro sobre enriquecido categorías tiene algún material de este. Él tiene también varios artículos sobre el tema, acaba de google.