Desaparición de secciones globales con giros muy negativos.

Question

Deje $k$ ser un algebraicamente cerrado de campo y deje $\mathcal{F}$ ser coherente gavilla en el espacio proyectivo $\mathbb{P}^n_k$. Me gustaría saber cuando es lo cierto que

$$H^0(\mathbb{P}^n_k, \mathcal{F}(m)) = 0 \qquad \text{ for } m<<0$$

Por ejemplo, si $\mathcal{F}=\mathcal{O}_p$ es la estructura de la gavilla correspondiente a un punto de cierre $p\in \mathbb{P}^n_k$ tenemos que

$$H^0(\mathbb{P}^n_k,\mathcal{O}_p(m))= H^0(p,\mathcal{O}_p)=k \qquad \text{ for all } m\in \mathbb{Z}$$

En particular, es cierto que la fuga de arriba tiene si y sólo si $\mathcal{F}$ no tiene cerrado de puntos asociados?

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Motivación:

La motivación por mi problema es el siguiente: para cada coherente gavilla $\mathcal{F}$ $\mathbb{P}^n_k$ podemos construir el grupo asociado como

$$R(\mathcal{F}) = \bigoplus_{m\in \mathbb{Z}}H^0(\mathbb{P}_k^n, \mathcal{F}(m))$$

y este tiene una estructura natural de graduado $S$-módulo, donde

$$S=R(\mathcal{O})=\bigoplus_{n\geq 0} H^0(\mathbb{P}_k^n,\mathcal{O}(n))$$

es la homogeneidad de las coordenadas anillo de $\mathbb{P}^n_k$.

Me gustaría saber cuando es $R(\mathcal{F})$ finitely generado más de $S$. Sé que cada trunca módulo

$$\bigoplus_{m\geq m_0}H^0(\mathbb{P}^n_k,\mathcal{F}(m))$$

es finitely generados, por lo que el problema es equivalente a la fuga en la pregunta anterior. En particular, en Eisenbud del libro "La Geometría de las Syzygies" se dice (pág. 67) que el problema de generación finita llega cuando se $\mathcal{F}$ tiene asociado un punto cerrado (de modo que la respuesta a la pregunta anterior debe ser "sí"), pero no hay ninguna prueba de esto.

Answer 1

He pensado en una solución y estoy publicando aquí en caso de que alguien esté interesado.

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Reclamo: vamos a $\mathcal{F}$ ser coherente gavilla en $\mathbb{P}^N_k$, $k$ algebraicamente cerrado y $N\geq 0$. A continuación, $H^0(\mathcal{F}(n))=0$ $n\ll 0$ si y sólo si $\mathcal{F}$ no tiene asociada ninguna cerrado puntos.

Prueba de Reclamación: $(\implies)$ en Primer lugar, hemos de probar que si $\mathcal{F}$ tiene asociado un punto cerrado, a continuación, $H^0(\mathcal{F}(n))\ne 0$ cualquier $n\in \mathbb{Z}$. Desde los puntos asociados de $\mathcal{F}$ son los mismos que los puntos asociados de $\mathcal{F}(n)$, podemos suponer $n=0$. Deje $S=S[X_0,\dots,X_N]$ ser el anillo de coordenadas de $\mathbb{P}^N$ y deje $M$ ser clasificada $S$-módulo tal que $\mathcal{F}=\widetilde{M}$. Entonces si $p\in \mathbb{P}^N$ es un punto cerrado asociado a $\mathcal{F}$ $\mathfrak{p}\subseteq S$ es el correspondiente homogénea ideal, a continuación, $\mathfrak{p}$ es una asociada de primer orden de $M$, lo que significa que hay una incrustación $$0 \longrightarrow S/\mathfrak{p}(n) \longrightarrow M$$ para un determinado $n\in \mathbb{Z}$. Después de sheafification tenemos un morfismos de poleas $$0 \longrightarrow \kappa(p)(n) \longrightarrow \mathcal{F}$$ y tomando global secciones de ello se sigue que $H^0(\mathcal{F})\supseteq H^0(\kappa(p)(n)) \ne 0$.

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$(\impliedby)$ Por el contrario, supongamos que tenemos una coherente gavilla $\mathcal{F}$ $\mathbb{P}^N$ tal que $H^0(\mathcal{F}(n))\ne 0$ para infinidad de $n<0$, entonces queremos demostrar que $\mathcal{F}$ tiene asociado un punto cerrado. Deje $M=\sum_{n\in \mathbb{Z}} H^0(\mathcal{F}(n))$: entonces este es un graduado $S$-módulo tal que $M_n$ es finito dinmension $k$ por cada $n$, y de tal manera que, si $m\in M_n$ $\ell\cdot m =0$ por cada $\ell \in S_1$,$m=0$. De hecho, eso es equivalente a decir que la sección global $m\in H^0(\mathcal{F}(n))$ se desvanece en $\{ \ell \ne 0 \}$ por cada $\ell\in S_1$, y dado que estos subconjuntos abiertos de la cubierta $\mathbb{P}^n$,$m=0$. Por otra parte, los asociados de los números primos de $M$ dar puntos asociados de $\mathcal{F}$, por lo que estamos hecho si podemos probar el siguiente.

Lema: Vamos a $S=k[X_0,\dots,X_N]$ y deje $M=\sum _{n\in \mathbb{Z}}M_n$ ser clasificada $S$-módulo de tal forma que:

• cada $M_n$ es de dimensión finita, como un espacio vectorial sobre $k$.
• $M$ es saturada, es decir, si $m\in M_n$ es tal que $\ell\cdot m =0$ por cada $\ell \in S_1$,$m=0$.

Entonces, si $M_n\ne 0$ para infinidad de $n<0$, el módulo de $M$ tiene el ideal de un punto de cierre en $\mathbb{P}^N=Proj(S)$ como asociada de primer orden.

La prueba del Lema: en Primer lugar vemos que el $M_n\ne 0$ por cada $n\in \mathbb{Z}$. En efecto, es suficiente para probar que si $M_n\ne 0$$M_{n+1}\ne 0$. Por lo tanto, vamos a $m\in M_n$ ser un elemento distinto de cero: a continuación, por saturatedness existe un elemento $\ell\in S_1$ tal que $\ell\cdot m \ne 0$ y, a continuación, este es un elemento distinto de cero en $M_{n+1}$. Ahora vamos a comprobar el lema por inducción en $N$:

Paso básico: empezamos con $N=0$: en este caso, sabemos que desde $M_n\ne 0$ por cada $n$, la gavilla $\widetilde{M}$ $\mathbb{P}^0$ es distinto de cero, por lo que tiene asociado un punto, que debe ser el único punto de $\mathbb{P}^0$, que, en particular, es cerrado.

Inducción paso: vamos a $N\geq 1$. Ahora, supongamos que podemos encontrar un elemento $\ell \in S_1$ de manera tal que el submódulo $$(0:_M \ell) = \{m\in M \, |\, \ell\cdot m = 0\}$$ es distinto de cero en un número infinito de grados negativos. Entonces podemos considerar esto como un módulo más de $S/\ell S$ y por hipótesis de inducción se sigue que debe contener un primer asociados a un punto de cierre en $\mathbb{P}^{N-1}=Proj(S/\ell S)$. Un primo es de la forma $\mathfrak{p}/\ell S$ $\mathfrak{p}\subseteq S$ y tenemos las inclusiones de $S$-módulos $$S/\mathfrak{p}(n) = \frac{S/\ell S}{\mathfrak{p}/\ell S}(n) \subseteq (0:_M \ell) \subseteq M$$ y esto significa que $\mathfrak{p}$ está asociado a$M$, y el principal que estábamos buscando. Ahora, si no podemos encontrar ningún ejemplo $\ell$ esto significa que por cada $\ell \in S_1$ los mapas de $M_n \overset{\cdot\ell}{\to} M_{n+1}$ son inyectiva para todos los $n\ll 0$. En particular, se deduce que el $\dim_k M_n \leq \dim_k M_{n+1}$ todos los $n\ll 0$ y ya que estas dimensiones son todos positivos y finito, se debe estabilizar a un cierto punto, lo que significa que $\dim_k M_n = \dim_k M_{n+1}$$n\ll 0$. En particular, podemos encontrar una $n_0 \in \mathbb{Z}$ todos los mapas de $M_n \overset{\cdot X_0}{\to} M_{n+1}$ son isomorphisms si $n\leq n_0$. Supongamos ahora que para cada $\ell\in S_1$ los mapas de $M_n \overset{\cdot\ell}{\to} M_{n+1}$ son isomorphisms para $n\leq n_0$ y, para que ese $n$ considera la multiplicación mapa $$S_1 \otimes_k M_n \to M_{n+1}$$ este mapa es inyectiva en tanto factor de separados, de modo que, desde el $k$ es algebraicamente cerrado, por un teorema de Hopf (cfr ACGH-Módulos de Alg Curvas I, p. 108) se deduce que $$\dim_k M_{n+1} \geq \dim_k S_1 + \dim_k M_n -1 = \dim_k M_n + N > \dim_k M_n$$ pero esto es absurdo, porque sabemos que ambas dimensiones son las mismas. Por lo tanto, debe haber un $\ell \in S_1$ tal que $\ell \cdot m = 0$ durante un cierto elemento distinto de cero $m\in M_{\overline{n}}$,$\overline{n}\leq n_0$. Pero entonces podemos demostrar que $(0:_M \ell)_n\ne 0$ por cada $n\leq \overline{n}$, lo que daría una contradicción. Para ver esto, recordar que todos los mapas $M_{n}\overset{\cdot X_0}{\to} M_{n+1}$ son isomorphisms para$n\leq \overline{n}$, de modo que, para cada $m\in M_n$ podemos denotar por $\frac{m}{X_0^r}$ el único elemento en $M_{n-r}$ tal que $X_0^r \cdot \frac{m}{X_0^r}=m$. Ahora observe que el$X_0\cdot(\ell\cdot \frac{m}{X_0})=\ell \cdot m =0$, pero dado que la multiplicación por $X-0$ es inyectiva, se deduce que el $\ell \cdot \frac{m}{X_0}=0$ y, a continuación,$(0:_{M}\ell)_{\overline{n}-1}\ne 0$. Para mostrar que $(0:_{M}\ell)_{\overline{n}-2}\ne 0$ se observa que el $X_0\cdot(\ell\cdot \frac{m}{X_0^2})=\ell \cdot \frac{m}{X_0}=0$ y ya que la multiplicación por $X_0$ es inyectiva debe ser ese $\frac{m}{X_0^2}=0$. Continuar como este uno puede demostrar que $(0:_M \ell)_n \ne 0$ todos los $n\leq \overline{n}$ y esto concluye la prueba.