Cómo probar %#% #%
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Este es un viejo favorito mío.
Definir %#% #% entonces % #% # % %#% #% cambio ahora a coordenadas polares
%#% #% % #% # % %#% #% %#% #% Y su integral es mitad eso por la simetría
Siempre me he preguntado si alguien encontró esta manera o lo hizo en primer lugar usando variables complejas y notado que esto debería funcionar.
Michael Wiles
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158
Una variación en la respuesta de Ross Millikan.
Podemos empezar otra vez con la observación %#% #% %#% #% es simplemente el volumen del cuerpo %#% #% o, equivalente, %#% #% esto implica que el cuerpo es un sólido de revolución. Usando la fórmula de integración de disco , tenemos %#% #%
Jack M.
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8224
Sé esto:
Definir %#% #% como:
$f$ and $g$
Ahora, %#% #% y
$$f(x):=\left(\int_0^x e^{-t^2}dt\right)^{2} \ \ \ \text{and} \ \ \ g(x):=\left(\int_{0}^{1}\frac{e^{-x^{2}(t^{2}+1)}}{t^{2}+1}dt\right)$$
Así que poner %#% #%
Entonces obtenemos;
$$f'(x)=2e^{-x^{2}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt$$
Así %#% #%
Entonces %#% #%.
Ahora %#% #%
Así %#% #%
Por lo tanto
$$g'(x)=\int_0^1 \frac{\partial}{dx}\left[\frac{e^{-x^2(t^2+1)}}{t^2+1}\right]dt = -2xe^{-x^{2}}\int_{0}^{1}e^{-x^{2}t^{2}}dt$$
Fin.
user3035
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91
Cabe mencionar que uno también puede utilizar Coordenadas esféricos en 3 dimensiones de manera análoga a las coordenadas polares Ross Millikan utilizado anteriormente: Si %#% #%, entonces tiene %#% #% Cambio a coordenadas esféricas esto se convierte en %#% #% Hacer las integraciones #% #% theta y % esto se convierte en %#% #% Entonces uno puede integrar partes, diferenciando %#% #%. Esto nos lleva a %#% #% Nota el lado derecho es exactamente %#% #% según sea necesario. Obviamente las coordenadas polares son más rápidos. Sólo diciendo '...
Dan Walker
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3466
Una derivación alternativa es mostrar que
$$\int_{0}^{\infty}xe^{-x^{2}y^{2}}\; \mathrm{d}y=I,$$
donde %#% #% es la integral:
$I$
y luego evaluar %#% #%, entonces
$$I:=\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}\; \mathrm{d}x,$$
Por lo tanto
$I^2$ by reversing the order of integration. If $x>0$
Por lo tanto
$$\int_{0}^{\infty}xe^{-x^{2}y^{2}}\; \mathrm{d}y=x\int_{0}^{\infty}e^{-{(xy)}^2}\; \mathrm{d}y=x\int_{0}^{\infty}e^{-u^2}\dfrac{\mathrm{d}u}{x}=\int_{0}^{\infty}e^{-u^2}\; \mathrm{d}u=I.$$
