¿Hay siempre un grupo no abeliano de orden $3q$ $q$ no siendo squarefree?

Question

Supongamos que $p = 3q$ y $q$ no es Plaza libre, ¿Cómo demuestro que siempre hay un grupo no abeliano de orden p? ¿Debo construir utilizando producto semi directa?

Answer 1

Semidirect productos sin duda lo hará.

Esto es suficiente para mostrar que siempre hay nonabelian grupos de orden $3p^2$ $p$ de una prima. De hecho, si esto es cierto y $q$ no es cuadrada libre, entonces podemos escribir $q=p^2r$ para algunos prime $p$ y algunos entero $r$; luego en $G\times C_r$ donde $G$ es nonabelian de orden $3p^2$ $C_r$ es cíclico de orden $r$ le dará un nonabelian grupo de orden $3p^2r=3q$.

Para $p=2$, podemos tomar $A_4$, la alternancia de grupo de grado $4$, que tiene orden de $12$.

Para $p=3$, podemos tomar el de Heisenberg grupo de $3\times 3$ triangular superior matrices con $1$s en la diagonal y los coeficientes en $\mathbb{F}_3$, que es un nonabelian grupo de orden $27$.

Para $p\gt 3$, tenemos dos casos: $p\equiv 1\pmod{3}$$p\equiv 2\pmod{3}$. Para la primera, se utiliza el siguiente Lema:

Lema. Deje $n$ ser un entero positivo mayor que $1$, y deje $C_n$ ser el grupo cíclico de orden $n$. A continuación, $C_n$ tiene un automorphism de orden $3$ si y sólo si $3|\phi(n)$ donde $\phi$ es de Euler $\phi$ función.

Prueba. Si nos identificamos $C_n$ con el grupo aditivo de los enteros modulo $n$, entonces cada automorphism corresponde a un mapa de $1\mapsto r$ donde $\gcd(r,n)=1$. El orden es el más pequeño de $k$ tal que $r^k\equiv 1\pmod{n}$. Esto es equivalente a mirar en el grupo multiplicativo de las unidades del modulo $n$, y la búsqueda de la orden de $r$ en ese grupo. El grupo multiplicativo de las unidades del modulo $n$ orden $\phi(n)$, por lo tanto, tiene un elemento de orden $3$ si y sólo si $3$ divide $\phi(n)$, por Lagrange del Teorema (por el "si" de la cláusula) y del Teorema de Cauchy (por la cláusula "si"). $\Box$

Si $p\equiv 1\pmod{3}$, $C_p$ tiene un automorphism de orden $3$ (desde $\phi(p) = p-1$ es un múltiplo de a $3$); esto significa que hay un grupo de orden $3p$ que es nonabelian (un semidirect producto $C_p\rtimes C_3$); por lo tanto podemos construir un nonabelian grupo de orden $3p^2$$(C_p\rtimes C_3)\times C_3$.

Así que se reducen para el caso en que $p\gt 3$$p\equiv 2\pmod{n}$. No podemos hacer lo que hicimos anteriormente, debido a que todos los grupos de orden $3p$ son abelian (de hecho, cíclico), que puede ser probada utilizando los Teoremas de Sylow y un poco de trabajo extra; ni podemos obtener un nonabelian grupo de orden $3p^2$ mediante $C_{p^2}$, porque, de nuevo por Sylow de Teoremas que tendría que ser un semidirect producto, sino $C_{p^2}$ no tiene automorphism de orden $3$, así que de nuevo tenemos sólo el grupo cíclico de orden $3p^2$.

Así que en vez vamos a utilizar un semidirect producto con el normal subgrupo $C_p\times C_p$. Considerar el grupo $C_p\times C_p$; escribir $p=3k+2$; estamos buscando una automorphism de orden $3$. Mira el mapa de $C_p\times C_p\to C_p\times C_p$$(a,b)\mapsto (a,b+(k+1)a)$. Este es de hecho un automorphism (fácil de comprobar), y el orden es exactamente $3$ (de nuevo, fácil de verificación). Este automorphism nos permite construir un nonabelian grupo $(C_p\times C_p)\rtimes C_3$ orden $3p^2$.

Así que hemos construido un grupo de orden $3p^2$ por cada prime $p$, y hemos terminado.