¿Por qué es $S_5$ generada por cualquier combinación de una transposición y un ciclo de 5? ¿Es esto cierto para cualquier primo $p$ (en este caso $p=5$ )?
Respuesta
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Proposición. $S_n$ se genera por una transposición $ \tau =(xy)$ y un $n$ -ciclo $ \sigma $ si y sólo si $| \rm {i}_x- \rm {i}_y|$ es coprimo a $n$ donde $ \rm {i}_m$ denota el índice de $m$ como una carta en $ \sigma $ .
Prueba. Deje que $ \tau =(xy)$ , $ \sigma =(x_1x_2 \ldots x_n)$ y asumir que el W.L.O.G. que $x=x_a$ , $y=x_b$ con $a<b$ . Podemos entonces re-etiquetar $1, \ldots , n \longrightarrow x_1, \ldots ,x_n$ para que $ \sigma =(12 \ldots n)$ y $ \tau =(ab)$ . Por lo tanto, basta con considerar una transposición arbitraria $ \tau =(ab)$ con el $n$ -ciclo $ \sigma =(12 \ldots n)$ . A lo largo de esta prueba, tome todas las letras modulo $n$ a menos que se especifique lo contrario. Conjunto $d= \operatorname {gcd}(n,b-a)$ .
Empezamos con $d=1$ . Observando que $ \sigma ^{k}(i)= i+k$ vemos que $ \sigma ^{b-a}(a)= b$ y así $ \sigma ^{b-a}$ es un $n$ -ciclo $ \sigma ^{b-a}=(ab \ldots )$ . Así que de nuevo podemos etiquetar adecuadamente $1, \ldots , n$ para que $ \tau =(12), \sigma ^{b-a}=(1 \ldots n)$ . Sabemos que conjugar $ \tau $ por $ \sigma ^{k(b-a)}$ produce la transposición $(k,k+1)$ y no es difícil ver que $\{(12),(23), \ldots ,(n-1,n)\}$ genera $S_n$ así que vemos que $ \langle \tau , \sigma ^{b-a} \rangle =S_n$ . Porque $ \operatorname {gcd}(b-a,n)=1$ , $ \sigma ^{b-a}$ genera $ \langle \sigma \rangle $ y así concluimos que $S_n= \langle \tau , \sigma\rangle $ .
Para probar lo contrario, consideraremos la acción inducida de $ \tau $ y $ \sigma $ modulo $d>1$ y luego aplicar nuestras observaciones para encontrar un elemento de $S_n$ que no puede estar en $ \langle \tau , \sigma \rangle $ .
Defina $ \theta : \langle \tau , \sigma \rangle\rightarrow S_d$ por $ \theta (g)= \theta_g $ donde $ \theta_g (i)=g(i) \mod d$ . Debemos verificar que $ \theta $ realmente es una función, es decir, que $ \theta_g $ es una permutación bien definida en $S_d$ para cada $g \in\langle \tau , \sigma \rangle $ . Por el cierre en $S_d$ tenemos que si $ \theta_g $ y $ \theta_h $ están bien definidos, entonces $ \theta_g\theta_h = \theta_ {gh}$ también, así que basta con comprobar sólo $ \theta_\tau $ y $ \theta_\sigma $ . En el primer caso, la afirmación es obvia, ya que $b \equiv a \pmod {d}$ por definición de $d$ y viceversa. En el último caso, observamos que porque $d \mid n$ , $$i \equiv j \pmod d \Leftrightarrow i+1 \equiv j+1 \pmod d.$$ Así, $ \theta $ es de hecho una función (y, además, un homomorfismo) en $S_d$ .
Ahora usamos hacer uso de la suposición de que $d>1$ . Elija una transposición $(ij) \in S_n$ donde $i \not\equiv j \pmod d$ . A propósito, $ \theta_ {(ij)}$ no está bien definido, por lo que debemos tener que $(ij)$ no está en el dominio de $ \theta $ - que es $(ij) \notin \langle \tau , \sigma \rangle $ . En particular, esto significa que $ \langle \tau , \sigma \rangle $ es adecuado en $S_n$ .
Corolario. $S_n$ se genera por cualquier combinación de una transposición y una $n$ -ciclo si y sólo si $n$ es primordial.
Prueba . Si $n$ es primo, todo es coprimo a $n$ . A la inversa, que $p$ ser un factor primordial de $n$ y aplicar la propuesta a $ \tau =(12), \sigma =(a_1a_2 \ldots a_n)$ con $a_1=1$ y $a_{p+1}=2$ .
