Deje $M$ $n$- dimensional compacta y orientada al colector. A continuación, se puede definir la intersección de emparejamiento $H_k(M,\mathbb Z) \times H_{n-k}(M,\mathbb Z) \to \mathbb Z$. Una posible formulación de la Poncaré dualidad es la siguiente:
Cada funcional lineal $H_{n-k}(M,\mathbb Z) \to \mathbb Z$ está dado por la intersección con clase, $\alpha \in H_k(M,\mathbb Z)$ e si $\beta \in H_k(M,\mathbb Z)$ ha interesection número $0$ con cada clase en $H_{n-k}(M,\mathbb Z) $ $\beta$ es un elemento de torsión.
Esta formulación se da en Griffiths & Harris "los Principios de la Geometría Algebraica" y se utilice esta opción para definir la clase fundamental de un sistema cerrado sumbanifold de la siguiente manera: si $V \subset M$ es un cerrado y orientado submanifold de dimendion $k$, intersección con la a $V$ define un funcional lineal $H_{n-k}(M,\mathbb Z) \to \mathbb Z$ y dicen
"la correspondiente cohomology de la clase $\eta_V \in H^{n-k}(M)$ es la clase fundamental de $V$."
¿Qué quieren decir con "el correspondiente cohomology de clase"? Puedo ver que $\text{Hom} (H_{n-k}(M,\mathbb Z), \mathbb Z)$ está relacionado con $H^{n-k}(M,\mathbb Z)$ por el universal coeficiente de teorema, pero, ¿cómo es $\eta_V$ obtenido de forma explícita?
