En $K[X,Y]$, ¿es el poder de algún primo también primario?

Question

Recientemente he estado leyendo sobre la descomposición primaria y estaba navegando por las preguntas aquí. Desde esto, sé que no es cierto que cada ideal primario sea la potencia de un ideal primo.

Estoy curioso acerca de una ligera variación inspirada por los comentarios.

Considera $K[X,Y]$, para $K$ un campo. Para cualquier primo $\mathfrak{p}\subset K[X,Y]$, y cualquier $n\geq 1$, ¿es el ideal $\mathfrak{p}^n$ primario, de manera que si $ab\in\mathfrak{p}^n$, entonces $a\in\mathfrak{p}^n$ o $b^j\in\mathfrak{p}^n$ para algún $j$?

Sospecho que es de hecho cierto, y es obviamente cierto cuando $n=1$. Un enfoque inductivo no parece correcto, ¿hay otra forma de llegar a la conclusión?

Answer 1

La respuesta es sí. Recuerda el siguiente hecho importante:

Teorema. (Reid, Álgebra Conmutativa de Pregrado, Proposición página 22) Los ideales primos de $k[x,y]$ son los siguientes:

1. $0$;
2. $(f)$, para $f$ irreducible en $k[x,y]$;
3. ideales maximales $\mathfrak{m}$.

Ahora puedes concluir fácilmente con los siguientes dos hechos: (a) una potencia de un ideal maximal es primario (Atiyah, Macdonald 4.2); (b) en un DIP la potencia de un ideal primo principal es primaria.

No sé qué ocurre en general en $k[x_1, \dots, x_n]$, cuando $n \geq 3$. Se puede demostrar que si $\mathfrak{p}$ es un primo monomial en $k[x_1, \dots, x_n]$ entonces $\mathfrak{p}^m$ es $\mathfrak{p}$-primario para todo $m$.