Ayuda con sustitución de Euler

Question

Deje $a < 0$. Encontrar la siguiente integral indefinida por el uso de la tercera Euler sustitución.

$$\int \frac{dx}{(x^2 + a^2) \sqrt{x^2 - a^2}}$$

Donde el tercer Euler sustitución se define por:

Dada una integral de la forma $\int R(x, \sqrt{ax^2 + bx + c})dx,$ $a \neq 0$. Si el polinomio cuadrático bajo el radical tiene 2 raíces reales distintas $\alpha_1$ $\alpha_2$ es decir,

$$ax^2 + bx + c = a(x-\alpha_1)(x - \alpha_2),$$

a continuación, establezca

$$\sqrt{ax^2 + bx + c} = t(x - \alpha_{1 \text{ or } 2}).$$

Sugerencia: $t^4 + 1 = (t^2 - \sqrt 2t + 1)(t^2 + \sqrt 2t + 1)$.

Traté de inicio mediante el establecimiento de $$\sqrt{x^2 - a^2} = t(x-a)$$ and attempted to solve for $x$ in order to find some function to define $dx$ in terms of $dt$, pero estoy teniendo algunos problemas. No estoy muy seguro de cómo aplicar la sugerencia aquí.

Gracias de antemano.

Answer 1

Fui con $\sqrt{x^2-a^2}=t (x+a)$, aunque dudo que importa. En cualquier caso, hay solamente un puñado de álgebra para trabajar a través de:

$$t=\sqrt{\frac{x-a}{x+a}} \implies x = a \frac{1+t^2}{1-t^2}$$

$$dx = \frac{4 a t}{(1-t^2)^2} dt$$

$$x^2+a^2 = 2 a^2 \frac{1+t^4}{(1-t^2)^2}$$

$$x^2-a^2 = a^2 \frac{4 t^2}{(1-t^2)^2}$$

Para

$$\begin{align} \int \frac{dx}{(x^2+a^2) \sqrt{x^2-a^2}} &= \frac{2a}{a^3} \int dt \frac{t}{(1-t^2)^2} \frac{(1-t^2)^2}{1+t^4} \frac{1-t^2}{2 t}\\ &= \frac{1}{a^2} \int dt \frac{1-t^2}{1+t^4} \end{align}$$

Ahora poner ese toque a buen uso. En realidad, te voy a dar uno mejor:

$$\frac{1-t^2}{1+t^4} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \left ( \frac{2 t + \sqrt{2}}{t^2+\sqrt{2} t+1} - \frac{2 t - \sqrt{2}}{t^2-\sqrt{2} t+1} \right )$$

Observe que las fracciones de la forma $h'(t)/h(t)$ % función $h$.

Answer 2

Aquí es una alternativa que realmente no responder a la pregunta, sino que propone una forma de comprobar la respuesta.

Recuerdo que en una situación así, la sustitución trigonométrica $$ x=a\sec\theta \qquad dx=a\sec\theta\tan\theta d\theta $$ podría ayudar.

Lo he intentado y lo he encontrado rendimientos, después de la simplificación $$ \frac{1}{a^2}\int\frac{\cos \theta}{2-\sin^2\theta}d\theta. $$

Ahora cambio la variable de nuevo con $u=\sin\theta$ para obtener $$ \frac{1}{a^2}\int \frac{du}{2-u^2}=\frac{1}{2\sqrt{2}^2}\int \left(\frac{1}{u-\sqrt{2}}-\frac{1}{u+\sqrt{2}}\right)du $$ $$ \frac{\sqrt{2}}{4a^2}\log\lvert\frac{u-\sqrt{2}}{u+\sqrt{2}} \rvert +C. $$

Puedo dejar que te sustituya para obtener las funciones de $x$?

Puede utilizar $$ \sin \mbox{arcsec}(x/a)=-\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x} $$ para $x<a<0$.