¿Implica $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n|x_i|\to L<\infty$ $\frac{1}{n}\max_{1\leq i\leq n}|x_i|=0$?

Question

Para simplificar la notación, vamos a suponer que $\{x_n\}_{n\geq 1}$ es una secuencia de números verdaderos no negativos. ¿\Frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i\to $$ L $$ $L$ finito implica $$ \frac{1}{n}\max_{1\leq i\leq n} x_i\to 0? $$ He estado pensando sobre esta pregunta durante las últimas horas por aquí pero no puedo subir con cualquier cosa. Si usted me puede ayudar, por favor no dude de cabeza allí resolver ese post también.

Answer 1

Sí.

Asumir por la contradicción que hay arbitrariamente grande $\varepsilon > 0$ $n$ tal que

$$\frac{1}{n} \max_{1 \leqslant i \leqslant n} x_i \geqslant \varepsilon,$$

es decir

$$\max_{1 \leqslant i \leqslant n} x_i \geqslant n \varepsilon.$$

De allí se desprende (lleva alguna prueba aunque) que hay arbitrariamente grande $n$, que $x_n \geqslant n \varepsilon$. Por lo tanto

$$ \frac{x_1 + \ldots + x_n}{n} \geqslant \frac{x_1 + \ldots + x_{n-1}}{n} + \varepsilon = \frac{n-1}{n} \cdot \frac{x_1 + \ldots + x_{n-1}}{n-1} + \varepsilon$$

así $L \geqslant 1 \cdot L + \varepsilon$ y tenemos una contradicción.

Answer 2

Basado en la prueba de Adayah, se me ocurrió la siguiente directa de la prueba. He puesto como una comunidad wiki post, porque la idea original es debido a Adayah:

Deje $\varepsilon > 0$. Tome $n_0 \in \Bbb{N}$ tal que

$$ \left| \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i - L \right| < \varepsilon \text{ y } \left| L - \frac{n}{n+1} L \right| < \varepsilon. $$

Este rendimientos

\begin{align*} \left|\frac{x_{n+1}}{n+1}\right| & =\left|\frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^{n+1}x_{i}-\frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right|\\ & \leq\left|\frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^{n+1}x_{i}-L\right|+\left|L-\frac{n}{n+1}L\right|+\frac{n}{n+1}\left|L-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right|\\ & <3\varepsilon \end{align*}

para todos los $n \geq n_0$ y por lo tanto

$$ \frac{1}{n} \max_{1 \leq i \leq n} x_i \leq \frac{1}{n} \max_{1 \leq i \leq n_0} x_i + \max_{n_0 + 1 \leq i \leq n} \frac{x_i}{n} \leq \frac{1}{n} \max_{1 \leq i \leq n_0} x_i + \max_{n_0 + 1\leq i \leq n} \frac{x_{i}}{i} < \varepsilon + \frac{1}{n} \max_{1 \leq i \leq n_0} x_i \a \varepsilon, $$

que establece $\limsup_n \frac{1}{n} \max_{1 \leq i \leq n} x_i = 0$, debido a $\varepsilon > 0$ fue arbitraria.