¿Existe una expresión para una función que asigna números enteros y no enteros a cero?

Question

Hay una función que puede ser construido con la suma, la multiplicación, la exponenciación, funciones trigonométricas, integrales, (y todos sus inversos yo.e resta, división, tomando logaritmos, $\arcsin(x)$, derivados, etc) que toma un entero y salida de $1$ y no tome un entero y salida de $0$?
Miré a la Función de Dirichlet, pero separados racionales de irrationals, y la única solución que se me ocurrió fue con la Serie de Fourier de $$x-\lfloor x \rfloor = \frac 12 - \frac 1\pi \sum_{k=1}^\infty \frac 1k \sin (2 \pi k x)$$ Pero este utiliza una serie infinita. Es allí una manera de construir una función de este tipo? Si no existe, ¿por qué no?

Answer 1

Tal vez esto es hacer trampa, pero creo que no es posible de otra manera, ya que el resto de funciones son continuas y una composición de funciones continuas es continua, las integrales de preservar la continuidad, incluso a pesar de que la diferenciación no en general, todas las funciones que se enumeran no son sólo continua, sino analítica o infinitamente diferenciable de modo que sus derivadas son continuas en todos los órdenes. De todos modos, aquí está mi ejemplo:

$f(x) = 0^{\sin(\pi \cdot x)^2}$

Para que esto sea correcto, se debe definir $0^0=1$ que no es irrazonable elección, pero por lo general esta expresión se deja sin definir.

Answer 2

Bien... siempre puede construir como una distribución:

$ \Upsilon(x) =\begin{cases} 1 ~~~ \text{for} ~~~ x\in\mathbb{N} \\ 0 ~~~ \text{for} ~~~x\not\in\mathbb{N} \end{casos} $$

jajaja