¿Cómo encontrar las oscilaciones de punto cero para este sistema?

Question

Considere el siguiente Hamiltoniano que es absolutamente relativista literalmente: sólo sensible a la absoluta pares relativa en el espacio de fase de las variables de los objetos de un sistema de $N$ objetos en movimiento en una dimensión: $$H = \sum_{ij} M_{ij} \sqrt{ (p_i - p_j)^2 + (q_i - q_j)^2 }$$ where $(q_i,p_i)$ are phase space variables, $i\in\{ 1,\dots, N\}$, and $M_{ij}$ is a constant symmetric matrix. The stationary equilibrium configuration of this system is $q_i=$ and $p_i=b$ for all $i$ and arbitrary $$ and $b$. (Static equilibrium requires $b=0$.) ¿Cómo funciona el sistema de evolucionar después perturbado infinitesimalmente desde el estado de equilibrio?

Casualmente, este es el Hamiltoniano de Newton vector de resonancia de la relajación de un delgado disco estelar.

Las ecuaciones de los movimientos son $$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} = \sum_j M_{ij} \frac{p_i - p_j}{\sqrt{ (p_i - p_j)^2 + (q_i - q_j)^2 }}\,,$$ $$\dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i} = \sum_j M_{ij} \frac{q_j - q_i}{\sqrt{ (p_i - p_j)^2 + (q_i - q_j)^2 }}\,.$$

Estas ecuaciones son muy simples en el plano complejo. Definir $z_i = q_i + i p_i$, luego $$H = \sum_{nm} M_{nm} |z_n - z_m| \\ \dot{z}_n = \sum_m i M_{nm} \frac{z_m - z_n}{|z_m - z_n|}\,.$$ Observe que la "fuerza efectiva" es independiente del espacio de fase a distancia, depende sólo el argumento de las coordenadas relativas. Esto es similar a la interacción de carga infinita aislante de placas.

Es allí una manera de derivar el modo normal oscilaciones de este sistema no lineal para las "pequeñas" perturbaciones alrededor de $z_i=0$?

(Nota: El Hamiltoniano no relativista en el sentido habitual de la palabra. Sin embargo este es el general Hamiltoniano relativista de 1 objeto en movimiento si la métrica del espacio-tiempo es $g_{\mu \nu}=x^2(-1,1,1,1)$. El Lagrangiano es, a continuación, $L = -\sqrt{-g_{\mu \nu}\frac{d x^{\mu}}{d\tau}\frac{d x^{\nu}}{d\tau}} =-\sqrt{x^2( 1 - \dot{x}^2)} $ que los rendimientos de $H=\sqrt{x^2+ p^2}$.)

Answer 1

Esto es lo más lejos que tengo: Los siguientes son soluciones exactas para el espacio de fase de la evolución de un sistema de $N$ objetos. Estas soluciones pueden ser considerados estacionario de equilibrio. Es allí una manera de hacer teoría de la perturbación en relación a estas soluciones?

MarkA ha demostrado que hay tres cantidades conservadas $$\sum_n z_n = \rm const\,,\quad \sum_n |z_n|^2 = {\rm const}, \quad \sum_{nm} M_{nm} |z_n - z_m| = {\rm const} $$ MarkA también ha notado una escala espacial invariancia. Los dos primeros implica el movimiento es limitado, la invariancia de escala implica infinito de interacciones de largo alcance, que sugieren que la simétrica de celosía o symmetic polígono de las distribuciones de masa puede representar estable modos normales como en la física del estado sólido.

Primero se considera el caso de $M_{nm}=M$ todos los $n\neq m$. En todos los casos las soluciones de exhibición de la rotación del cuerpo rígido en el espacio de fase.

Polígono equilátero (vértices) Una solución particular es $$z_n(t) = a + b \,e^{2\pi i n/N}e^{i \omega t} \quad n\in\{1,2,\dots, N\}$$ donde $a$ $b$ son constantes arbitrarias que establecen respectivamente la posición del centro de masa y el tamaño y la orientación inicial del polígono y $$\omega= \sum_{n=1}^{N-1}M \frac{1 - e^{2\pi i n/N}}{ | 1 - e^{2\pi i n/N} |} = \sum_{n=1}^{N-1} M \frac{1 - e^{2\pi i n/N}}{ 2 \sin (\pi n/N) } = -i M\sum_{n=1}^{N-1} e^{\pi i n/N} = M\cot \frac{\pi}{2N}$$ Podemos agregar un objeto al centro de masa del polígono, que sería mantener esta configuración.

Segmento de línea Inicialmente a la misma distancia de los objetos a lo largo de un segmento de línea también presentan estable rotaciones. La configuración gira alrededor de su origen con una velocidad angular independiente de la escala espacial $$z_n(t) = a + b \frac{n-1}{N-1} e^{i \omega t (n-N)/2} \quad n\in\{1,2,\dots, N\}$$ $$\omega =\sum_{n=1}^{N-1} M(n-1) = M \frac{N(N-1)}{2} $$

La velocidad angular es siempre independiente del tamaño de la perturbación $b$. Cada uno de los objetos que se comporta como un oscilador armónico.

Es concebible que el uniforme de rotación de objetos rígidos formar una categoría más amplia de soluciones para que $M_{ij} = m_im_j$. ¿Es esto cierto?

Infinito sistemas $N$ no necesita ser finito, en los ejemplos anteriores. El $N\rightarrow \infty$ límite es de un alambre circular de la circulación de objetos o una varilla recta girando alrededor de su centro de masa.

Simétrica infinito simétrica celosías $$z_n = a n + b m \quad n {\rm ~ and ~}m\in Z$$ son estáticas si $M_{nm}=M$ o más en general, si $M_{nm}$ mide la distancia a lo largo de la malla con un arbitraria de la traducción y de la rotación-invariantes métricos.

No homogénea de los acoplamientos Si $M_{nm}$ son finitos bloque-diagonal de las matrices con todos los elementos iguales dentro de un determinado bloque, pero diferente entre los distintos bloques, a continuación, podemos superponer las soluciones anteriores. El cuerpo rígido polígonos asociados a cada bloque de girar de forma independiente alrededor de su centro de masa.

Si $M_{nm}$ es "casi" bloque diagonal, con pequeñas pero distinto de cero offdiagonal bloques (en relación a la diagonal de bloques), a continuación, los diferentes polígonos suficientemente lejos el uno del otro en el espacio de fase girarán alrededor de sus centros, y de los centros se giran una alrededor de la otra lentamente correspondiente a los coeficientes de acoplamiento en el offdiagonal bloques. Tenga en cuenta que "lo suficientemente lejos" significa un gran angular diamater distancia, de manera que los diferentes objetos dentro de los dos estructuras están separadas por aproximadamente el mismo ángulo en el espacio de fase.

La débil fuera de la diagonal de acoplamiento va a distorsionar los polígonos de muy largo plazo.

Answer 2

Es un problema interesante. Generalmente se puede encontrar una infinitesimal oscilaciones mediante el establecimiento de $p_i = b + \delta p_i$, $q_i = a + \delta q_i$ y la expansión de la Hamiltoniana de segundo orden en el $\delta p_i$, $\delta q_i$. Aquí, sin embargo, esto no funciona como usted acaba de obtener el mismo Hamilton, $$ H = \sum_{i,j} M_{ij} \sqrt{(\delta p_i - \delta p_j)^2 + (\delta q_i - \delta q_j)^2} $$ Supongo que usted ya lo sabía. Sin embargo, el resultado no decirte algo importante: el problema tiene una escala de invariancia. La asignación de $p_i \to \alpha p_i$, $q_i \to \alpha q_i$ y $t \to \alpha t$ para el factor de escala $\alpha$ (donde $t$ es de tiempo) reproduce exactamente las mismas ecuaciones de movimiento.

Si un problema tiene algunos naturales de la escala de longitud de $l$ a continuación, puede ver infinitesimal de soluciones en torno a la de equilibrio: es decir, soluciones donde $\delta q_i \ll l$ todos los $i$, y que son correctos al líder de la orden en $\delta q_i /l$. Los modos normales del sistema son infintesimal soluciones que tienen un oscilador armónico simple comportamiento. La falta de una escala natural en este problema significa que no es posible hablar de 'infinitesimal soluciones", porque no hay manera de definir lo que "infinitesimal" significa. Por la misma razón no puede esperar que el sistema de los modos normales de oscilación.

Todavía es posible encontrar soluciones aproximadas, pero es difícil saber qué tipo de aproximación a hacer, sin saber a qué tipo de comportamiento/preguntas que te interese (por ejemplo, algunas formas de $M_{ij}$ puede ser más fácil que otros).

[Modificar:]

Tenga en cuenta que el sistema tiene algunas conservadas cantidades: $$ \sum_{n} z_n = \mathrm{constante} $$ $$ \sum_{m , n} M_{mn}|z_n-z_m| = \mathrm{constante} $$ y $$ \sum_n |z_n|^2 = \mathrm{constante} $$ Los dos primeros están relacionados con las simetrías de la traducción en $z$ y en el tiempo, respectivamente. La tercera de la siguiente manera a partir de la simetría en $z_n \to z_n e^{i\theta}$. La invariancia de escala no parece haber conectado la ley de la conservación.

La prueba de la tercera ley de la conservación:

$\frac{d}{dt}\sum_n z_n {z_n}^\ast = \sum_n (\dot{z}_n {z_n}^\ast + z_n {\dot{z}_n}^\ast) = \sum_{n,m} i M_{mn} \frac{(z_m-z_n){z_n}^\ast - z_n({z_m}^\ast - {z_n}^\ast)}{|z_m-z_n|} = \sum_{n,m} i M_{mn} \frac{z_m{z_n}^\ast - z_n{z_m}^\ast}{|z_m-z_n|}$

El sumando es anti-simétrica bajo la permutación de $m$$n$, y por lo tanto la suma total es cero.