Hace poco tuve un problema de tarea para demostrar que el producto directo de anillos (o anillos con identidad) todavía son anillos (con identidad), y me pareció realmente tonto pasar por todos los pasos para concluir lo que era sumamente trivial.
Mi pregunta es, ¿hay instancias cuando no es el caso? ¿Hay ciertas propiedades, o ciertas estructuras algebraicas con lo cual, tomando sus productos directos no mantiene las originales estructura algebraicas, propiedades?
Un producto directo de la integral dominios nunca es una parte integral de dominio desde $(1,0)\cdot(0,1)=0$. También puede considerar la posibilidad de PIDs; $\Bbb Z$ es un PID, mientras que $\Bbb Z\times\Bbb Z$ es no. El producto directo de los campos no es un campo, decir $\Bbb Q$$\Bbb Q\times\Bbb Q$.
También hay un problema de la comprobación de que si no se utiliza un canónica de funcionamiento, comprobando que aún tiene sentido como una operación. Por ejemplo, podemos identificar a $\Bbb C$ $\Bbb R^2$ mediante la definición de una operación $$(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,ad+bc).$$ no es inmediatamente obvio que esta es una bien definida la operación que satisface los axiomas de un anillo.
La pregunta requiere cuidado al interpretar lo que "toma directa de productos de media". Una forma de interpretar esto es: dadas dos estructuras algebraicas $A,B$ de la misma clase, donde $A,B$ son conjuntos con extra de la estructura, cuando la misma estructura, no se puede definir de forma natural en el producto $A\times B$ como conjuntos". Esta interpretación está abierta a debate por el uso de la palabra 'naturalmente'.
Otra interpretación de los usos de la categoría de marco y conduce a dos posibles precisas interpretaciones. Una vez que fijas tu favorito algebraicas estructura se puede considerar la categoría de todas aquellas estructuras algebraicas, junto con su estructura de la preservación de las funciones (casi siempre esta, de hecho, el rendimiento de una categoría). Llame a esta categoría $C$. Suponiendo que una típica estructura algebraica de interés consisten en un conjunto único, junto con extras estructura, no es olvidadizo functor $U:C\to Set$. La pregunta ahora es: si $C$ admite binario categórica productos hace el olvidadizo functor conmuta con binario productos. Creo que esta es una forma precisa para interpretar lo que tenía en mente. Una instancia donde la respuesta es sí, es cuando este olvidadizo functor ha dejado adjunto. Que significa que siempre que libre de estructuras existen, la respuesta a tu pregunta es: los productos son siempre construidos de forma natural en el producto cartesiano de los conjuntos subyacentes.
Esto sucede, por ejemplo, para grupos (ya libre existen grupos), para abelian grupos (ya libre de abelian grupos existe) etc. pero no para los campos (los campos libres no existen). No algebraicas de los casos encajan en este ajuste, incluyendo ejemplos de topología y análisis.
Otra interpretación posible es para preguntarse si la categoría de $C$ a todos los admite productos. Por ejemplo, la categoría de todos los grupos cíclicos no tiene todos los binarios de los productos.
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