¿Si $a=b$ y $a+c=b+c$?

Question

Un amigo mío me preguntó cómo probar que si $a=b$ $a+c=b+c$ donde $a,b$ $c$ son números reales, no estoy seguro de lo que debo responder. Tengo un libro que se llama introducción a la lógica y a la teoría de los deductivo de las ciencias de Alfred Tarski, que es acerca de la lógica proposicional, y recuerdo haber leído que dos cosas $a$ $b$ son iguales si alguna proposición que es verdadera acerca de la $a$ también es cierto acerca de la $b$ y vice-versa. Sin embargo creo que esto no es muy formal.

No he tomado ningún curso de teoría de conjuntos, creo que otra manera de justificar es decir que la suma es una función y puesto que los pares ordenados $(a,c)$ $(b,c)$ son iguales, a continuación,$+(a,c)=+(b,c)$. Pero no estoy demasiado convencido.

Si utilizamos el estándar de axiomas, ¿cómo podemos justificar $a+c=b+c$ el uso de la corriente principal de los axiomas de hoy. Creo que hay algo Zermelo-Frankl con la elección. Estos ser suficiente, ¿qué propiedades de los números reales que necesitamos hacer? Podemos demostrar que el uso de la costumbre de la construcción de los números reales y de Zermelo-Frankl?

Como usted probablemente puede ver no soy muy entendida en estos temas, así que me gustaría un delicado explicación.

Muchas gracias y saludos.

Answer 1

Para elaborar Thomas Andrews' comentario:

Además está bien definido: Para todos los $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ si $a=b$$c=d$,$a+c=b+d$. El bien definida la naturaleza de la adición en $\mathbb{R}$ es tomada como un axioma. Por lo tanto, si $a=b$$c=d$, tenemos $$ a+c=b+d\Longleftrightarrow a+c=b+c, $$ pero creo que hay algo más interesante que podría mostrar, es decir, la cancelación de la suma.

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La cancelación de la suma: Para todos los $a,b,c\in\mathbb{R}$ si $a+c=b+c$,$a=b$. [Por supuesto, esto es a la inversa de lo que es tomado como un axioma.]

Prueba. Pick $a,b,c\in\mathbb{R}$ y supongamos $a+c=b+c$. Por la existencia de inversos aditivos (otro axioma), existe $-c\in\mathbb{R}$ tal que $c+(-c)=0$. Ya que además está bien definido, tenemos que $$ [a+c]+(-c)=[b+c]+(-c), $$ que por la propiedad asociativa de la suma (otro axioma) se puede escribir como $$ una+[c+(-c)]=b+[c+(-c)]. $$ Este rendimientos $a+0=b+0$, que se convierte en $a=b$. $\blacksquare$

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No estoy seguro de si esa descripción/explicación es realmente lo que buscaba, pero es de esperar que encontraron útil.

Answer 2

Empezar con $$ un \oplus c = x \quad (*) $$ donde $x$ es el valor resultante, a continuación, tenga en cuenta que $a = b$, de modo que reemplace $a$ $b$ en la ecuación de $(*)$. Esto le da $$ b \oplus c = x $$ Por supuesto, esto significa $$ un \oplus c = x = b \oplus c $$ y así $$ a = b \Rightarrow \oplus c = b \oplus c $$

Permítanos realizar este para las variables de $a, b, c \in \mathbb{R}$ y el estándar de la suma y la igualdad de allí.

$\mathbb{R}$ es un campo que incluye que es cerrado bajo voluminoso. Así que debido a $a, c \in \mathbb{R}$, tenemos $$ a + c = x \in \mathbb{R} $$ Si decimos $a = b$ esto significa que estamos hablando de la misma único elemento de $\mathbb{R}$ aquí, dándole dos nombres diferentes,$a$$b$. De nuevo, cambiar el nombre de $a$ $b$en la expresión "a + c" no cambia nada, ya que vamos a añadir los mismos elementos reales, como antes, por lo que "b + c" debe dar el mismo valor $x$: $$ x = a + c = b + c $$ Así que de nuevo $a = b \Rightarrow a + c = b + c$.