¿Cuáles son las diferencias en habilidades mentales necesarias para análisis y álgebra abstracta principal??

Question

Tuve tomó de pregrado a nivel de álgebra abstracta y análisis de los cursos de antes. Y me parece que puedo hacer las pruebas de análisis más rápido que en el álgebra abstracta. Sin embargo, algunos otros estudiantes está enfrente de mí. Me parece que este fenómeno es muy interesante.

A mí cuando yo tratando de hacer pruebas en el análisis de que hay algún tipo de visualización que viene primero en mi mente, y que me ayuda mucho a escribir las pruebas. En álgebra I apenas se han visualización en mente a la hora de hacer pruebas, así que conseguir fácilmente pegado en la práctica de este tema.

Lo que me pregunto y quisiera pedir su opinión: ¿cuáles son las diferencias en las habilidades mentales necesarias para maestro de álgebra abstracta y análisis?

Answer 1

Hay un gran cuerpo de evidencia psicológica que la habilidad matemática se divide en dos categorías generales:

• formal y abstracto
• visual y geométrica

La mayoría de los matemáticos de excel en uno de estos dominios (por ejemplo, Ramanujan, formal; Desargues, geometría), pero unos en los dos (Cox).

Hablar de mi propia experiencia: yo soy, ciertamente, una visual/aparejador y se puede visualizar las curvas y las formas en el espacio, el recuento de las caras y los vértices de los complejos de los cuerpos geométricos en mi mente, y así sucesivamente, pero que tienen un mayor dificultad con la "no-geométrico" en campos tales como la teoría de números.

Sin embargo, cuando he estudiado álgebra Abstracta en el Departamento de Matemáticas en el MIT (que fue impartido en un formal, abstracto, forma), empecé no es mejor que el promedio en la clase. Pero luego me encontré con algunos libros que mostró cómo ver los grupos, anillos y pruebas geométricamente (con grafos de Cayley, entre otras construcciones). Todo se hizo de manera mucho más fácil. Pude observar las pruebas, se entiende conceptos fundamentales tales como el derecho cosets, interior de automorfismos y tal visualmente. Una vez que entendí las cosas visualmente, entonces yo podría "rellenar" las rigurosas pruebas y cálculos-y me hizo mucho mejor en la clase.

Me encontré con un libro que años más tarde, Nathan Carter Visual teoría de grupo, que fue una revelación. Me sentí como si este libro y mi estilo cognitivo fueron perfectamente emparejados.

Así que mi humilde recomendación es que sabe que su estilo cognitivo y trate de lanzar su matemáticos campo o dominio tanto como sea posible a ese estilo. Usted aprenderá más rápido, recuerde que más, y disfrutar más.

Ahora... no todos formal de las matemáticas pueden ser "geometrized" fácilmente o de forma natural, ni geométrica de matemáticas de ser "algebraicized" fácilmente o de forma natural. Pero, ¿qué se puede!

Answer 2

(Algo de esto ya ha sido señalado por David G. Stork)

Creo que un problema con la forma en álgebra abstracta es enseñado muchas veces es que nosotros como estudiantes carecen de un montón de motivación o de fondo en cuanto a donde los grupos de procedencia. Así que tenemos muy poca idea de lo que las personas que desarrollaron y axiomatized el campo tenía en su mente en el tiempo. Esto puede ocasionar que nos tienen una visión muy limitada en cuanto a lo de las ideas principales detrás de la teoría, puesto que sabemos muy pocos ejemplos interesantes de los grupos a veces, esto puede conducir a una falta de inspiración para las pruebas.

Por otro lado, en el análisis real nos ha enseñado desde la escuela primaria cómo visualizar el número de la línea y $\mathbb R^2,\mathbb R^3$. En mi caso ocurre con bastante frecuencia que tratando de encontrar un "visual" la justificación de un determinado fenómeno de la realidad puede convertirse en una prueba para el análisis.

Para envolver las cosas creo que no es que los pensadores pueden ser "visual" o "combinatoria", sino que simplemente es más fácil trabajar con objetos que se utilizan y para qué usted tiene una cierta cantidad de familiaridad que trabajar con objetos para que usted sólo puede conocer de forma rudimentaria ejemplos o tal vez sólo algunas de las definiciones que se dieron sin la suficiente motivación.

Por supuesto que algunos estudiantes son mejores que otros a probar teoremas sólo desde el conocimiento de los axiomas, pero esto es probablemente debido a que ya han aprendido un sujeto de la misma manera (tratando de deducir teoremas a partir de axiomas, sin tener adecuada antes de la motivación).

Answer 3

Como el supuesto nombre lo dice, es muy abstracto. Así que no hay mucho de visualización, pero más combinatorials habilidades; es decir, tenemos que jugar con los conceptos y hacer algunos ejemplos de convencernos.

Sin embargo, el análisis matemático es un concepto que requiere más de la visualización. Nos podemos referir a la gráfica (por ejemplo,$f (x) = e ^ x$) cuando queremos calcular $$\lim\limits_{ \begin{array}{l} x \to \infty\ \end{array}} e^x$$

En general, una persona que es buena en el análisis funcional va a ser tan bueno en geometría diferencial y topología diferencial, mientras que una buena persona es buena en álgebra abstracta sería bueno topología algebraica.