Demostrar que el espacio normado de funciones de variación acotadas es completo

Question

Sea $\Vert f \Vert = |f(0)| + \mathrm{Var}f$ para todos $f \in BV([0,1])$ ; se nos da que es una norma. Demostrar que $BV([0,1])$ es un espacio normado completo con esta norma.

He demostrado que cualquier secuencia de Cauchy en $BV([0,1])$ debe converger a alguna función puntualmente, pero estoy atascado en demostrar que la función debe tener variación acotada.

¿Podría alguien ayudarme?

Answer 1

Sea $\{f_n\}_{n=1}^{ +\infty} $ sea una sucesión de Cauchy para $\lVert\cdot\rVert$ . En particular, la secuencia de números reales $\{f_n(0)\}$ es Cauchy, por lo tanto converge a un número real que llamamos $f(0)$ . Ahora, considerando la partición $t_0=0<1=t_1$ tenemos $$\lVert f_k-f_j\rVert\geqslant\operatorname{Var}(f_k-f_j)\geqslant \left|f_k(1)-f_j(1)\right|-\left|f_k(0)-f_j(0)\right|,$$ demostrando que $\left\{f_k(1)\right\}$ es Cauchy, por lo tanto converge a un número real llamado $f(1)$ . Ahora para $t\in(0,1)$ consideramos la partición $t_0:=0<t=:t_1<t_2:=1$ para conseguir que $\{f_k(t)\}$ es Cauchy, por lo que converge a un número llamado $f(t)$ . Ahora, para concluir, necesitamos dos cosas:

• $f$ es de variación acotada. En efecto, sea $t_0=0<t_1<\dots<t_n=1$ sea una partición de $[0,1]$ . Entonces $$\sum_{j=0}^{n-1}\left|f(t_{j+1})-f(t_j)\right|\leqslant \sum_{j=0}^{n-1}\left|f(t_{j+1})-f_N(t_{j+1})\right|+\sum_{j=0}^{n-1}\left|f(t_j)-f_N(t_j)\right|+\operatorname{Var}(f_N).$$ Sea $n_0$ sea un número entero tal que $\operatorname{Var}(f_j-f_k)\leqslant 1$ si $j,k\geqslant n_0$ . A continuación, para cada $N$ , $\operatorname{Var}\left(f_N\right)\leqslant \max\left\{1+\operatorname{Var}\left(f_{n_0}\right),\operatorname{Var}(f_1),\dots,\operatorname{Var}\left(f_{n_0-1}\right)\right\}=:M$ . En consecuencia, $$\sum_{j=0}^{n-1}\left|f(t_{j+1})-f(t_j)\right|\leqslant \sum_{j=0}^{n-1}\left|f(t_{j+1})-f_N(t_{j+1})\right|+\sum_{j=0}^{n-1}\left|f(t_j)-f_N(t_j)\right|+M.$$ Tomando en última ecuación mostrada la $\limsup_{N\to +\infty}$ obtenemos que $f$ es de variación acotada. En efecto, para cada $j\in\{0,\dots,n\}$ , $f_N(t_j)\to f(t_j)$ . Por lo tanto, $$\sum_{j=0}^{n-1}\left|f(t_{j+1})-f(t_j)\right|\leqslant M,$$ et $M$ es independiente de la elección de la partición.

• $\lVert f-f_N\rVert\to 0$ . Tenemos por definición $f_n(0)\to f(0)$ por lo que tenemos que demostrar que $\operatorname{Var}(f_n-f)\to 0$ . Sea $\varepsilon>0$ . Podemos encontrar $N=N(\varepsilon)$ tal que si $m,n\geqslant N$ y $0=t_0<t_1<\dots<t_l=1$ es una partición de $[0,1]$ entonces $$\sum_{j=0}^{l-1}|(f_m-f_n)(x_{j+1})-(f_m-f_n)(x_j)|\leqslant\varepsilon.$$ Tomemos $\limsup_{m\to +\infty}$ en la desigualdad anterior. Dado que $f_m(x_j)\to f(x_j)$ para cada $j\in \{0,\dots,l\}$ obtenemos para cada $n\geqslant N(\varepsilon)$ : $$\sum_{j=0}^{l-1}|(f-f_n)(x_{j+1})-(f-f_n)(x_j)|\leqslant\varepsilon.$$ Como esta desigualdad es cierta para cualquier partición, obtenemos $\operatorname{Var}(f-f_n)\leqslant \varepsilon$ para $n \geqslant N(\varepsilon)$ .