¿Cuáles son las aplicaciones de la Geometría Diferencial en Robótica?

Question

Estoy tomando un curso de nivel de postgrado sobre Geometría Diferencial. ¿Alguien puede por favor decirme las aplicaciones inmediatas de la Geometría Diferencial en la Robótica?

Gracias

Answer 1

Generalmente, el "espacio de configuración", es decir, la colección de todas las posibles configuraciones de un robot, forma una variedad de relativamente alta dimensión (quizás con frontera, o esquinas, o algo parecido). Por ejemplo, si tu robot consiste únicamente en un brazo y una mano, la articulación del hombro proporciona $2$ grados de libertad, el codo $1, la muñeca $2, el pulgar $2, y cada uno de los otros dedos $3$ (uno para cada articulación).

En total, eso es una variedad de $19$ dimensiones.

Más allá de esto, considera la siguiente pregunta: Comienzas con la mano del robot levantada en el aire como si dijera "hola", y luego haces que el brazo baje para estrechar la mano. ¿Cuál es la mejor trayectoria de cada articulación individualmente para llevarlo de "hola" a estrechar la mano?

La respuesta a esto depende de lo que quieras decir con "mejor", y matemáticamente, "mejor" depende de la elección de una métrica de Riemann en esta variedad. Una vez que tengas esta métrica, puedes calcular geodésicas (al menos en principio), las cuales te darán las mejores trayectorias entre configuraciones.

Answer 2

No tengo conocimiento especializado en robótica en sí misma, pero creo que la principal conexión entre la geometría diferencial y la robótica proviene de las poderosas aplicaciones de la geometría diferencial a la mecánica en general. En particular, en su forma más general, el movimiento mecánico de un sistema en el formalismo hamiltoniano puede ser representado como un flujo a lo largo de un campo vectorial, llamado un campo vectorial hamiltoniano, en un tipo especial de variedad llamada una variedad simpléctica.

Lo primero que se aprende en geometría diferencial es que puedes calcular cosas acerca de tu variedad al pasar a coordenadas locales. En una variedad simpléctica, las coordenadas locales utilizadas son precisamente las coordenadas de posición y momento, $(p,q)$. Si recuerdas de la mecánica, las coordenadas $(p,q)$ definen el espacio de fases para un sistema mecánico. Si solo tenemos una partícula en el espacio abierto moviéndose bajo la influencia de algún potencial, entonces nuestro espacio de fases es $\mathbb{R}^{6}$, porque tenemos 3 coordenadas espaciales y 3 de momento. Sin embargo, si nuestro sistema tiene algunas restricciones, como algún cuerpo rígido, en lugar de imponer un montón de ecuaciones que representan la restricción, es más natural modelar simplemente el sistema como un movimiento a lo largo de alguna forma (la variedad) en el espacio de fases que representa las restricciones.

Answer 3

Aunque la pregunta está lejos de ser reciente y no estoy respondiendo explícitamente a tu pregunta, déjame darte un enlace a un libro que ejemplifica perfectamente el uso de la geometría diferencial en la robótica, por si alguien se encuentra con esta pregunta y está en busca de un buen comienzo: "Una Introducción Matemática a la Robótica" de Murray, Sastry & Li

Por ejemplo, el mapa exponencial permite una descripción muy intuitiva y eficiente del movimiento del cuerpo rígido. Además, tienes todo el campo del control geométrico, para lo cual sugeriría echar un vistazo a: "¿Vale la pena aprender métodos diferenciales geométricos para el modelado y control de sistemas mecánicos?" de Lewis

Answer 4

Hay algo de discusión sobre (un caso especial de) robótica en las siguientes notas de Bjørn Dundas: Differential topology.