Determinantes y series de potencias

Question

¿Existe algo así como una expansión en serie de potencias para un determinante? Me refiero a lo siguiente: si $k$ es un campo (de característica cero) y $M$ y $N$ son dos matrices cuadradas del mismo tamaño sobre $k$ ¿podemos entonces expresar $\det(M + tN)$ de forma bonita como una serie de potencias -que en realidad debería ser un polinomio- en $t$ ?

Answer 1

Pues bien, si una fila de una matriz es la suma de dos filas, el determinante es igual a la suma de los determinantes correspondientes. Así que $\det(M + tN)$ puede representarse como $2^k$ sumandos: $$ \det(M + tN)=\sum_{m=0}^k t^m\sum \det A_{i_1,\ldots,i_m}^{i_{m+1},\ldots,i_{k}} $$ donde $A_{i_1,\ldots,i_m}^{i_{m+1},\ldots,i_{k}}\;$ es una matriz que tiene filas $i_1,\ldots,i_m$ de la matriz $N$ y las filas $i_{m+1},\ldots,i_{k}$ de la matriz $M$ .

Answer 2

Para ampliar el comentario de anon:

$$\begin{align}\det (I-A) &= \exp\log\det (I-A) \\&=\exp\text{Tr}\log (I-A) \\ &=\exp\text{Tr}\left(-\sum_{n=1}^\infty\frac{A^n}n\right) \\&=\exp\left(-\sum_{n=1}^\infty\frac{\text{Tr}A^n}n\right)\;.\end{align}$$