Encontrar el valor mínimo de $\sqrt{5x^2 - 40x + 85} + \sqrt{5x^2 - 24x + 53}$ sin usar derivados

Question

Encontrar el valor mínimo de $f(x) = \sqrt{5x^2 - 40x + 85} + \sqrt{5x^2 - 24x + 53}$.

Puedo solucionar utilizando derivados. ¿Hay alguna otra manera de solucionarlo? ¿Por ejemplo, usando algunas desigualdades popular?

Answer 1

SUGERENCIA:

Podemos escribir %#% $ #%

Esto representa la suma de la distancia entre $$\frac{f(x)}{\sqrt 5}=\sqrt{(x-4)^2+(0-1)^2}+\sqrt{\left(x-\frac{12}{5}\right)^2+\left(0-\frac{11}{5}\right)^2}.$y $(x,0)$ y la distancia entre $(4,1)$y $(x,0)$.

Answer 2

Como sugiere mathlove, si ponemos $A=\left(\frac{12}{5},\frac{11}{5}\right), B=(x,0)$ y $C=\left(4,1\right)$, tenemos: %#% $ #% que se minimiza cuando $$ f(x) = \sqrt{5}\left( AB+BC \right) $ pertenece a la línea de % de $B$.