Dadas dos matrices $A,B.$ en ¿qué condiciones tiene $AB \sim BA$?
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¿Demasiados anuncios?$AB$ es conjugado a $BA$ si $A$ o $B$ es invertible. Si no es el caso, hay contraejemplos: por ejemplo, puede darse el caso de que $AB = 0$ mientras $BA \neq 0$. Explícitamente, tomar $$A = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right], B = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right].$$
Tenemos $AB = A$ pero $BA = 0$.
Sin embargo, hay un salvamento: $AB$ $BA$ tienen el mismo polinomio característico. Ver esta entrada del blog. (Corta la prueba: este debe mantener si bien $A$ o $B$ es invertible, y esa condición es Zariski densa.)
Como se mencionó ya, si ya sea del $A$ $B$ es invertible (ambos son del mismo tamaño), tenemos $$\begin{align} AB=A(BA)A^{-1}\quad&\mbox{if %#%#% is invertible}\\ AB=B^{-1}(BA)B\quad&\mbox{if %#%#% is invertible} \end {Alinee el} $$
Sin embargo, aquí está una prueba corta que incluso si $A$ $B$ y $A$ $m\times n$, los polinomios característicos de $B$ y $n\times m$ diferencian solamente por un factor de $AB$.
La prueba es bastante sencillo y no me supone nada acerca de $A$$B$, excepto los que son de forma cuadrada.
Lo hago por mostrar que ellos tienen los mismos autovalores. Si ese es el caso, $A=MJM^{-1}$ $B=CJC^{-1}$ ambos comparten el mismo $J$ en sus Jordan en la forma y yo damos por sentado que existen algunas matriz $K$ tal que $C=KM$, con el fin de tener $B=KMJ(KM)^{-1}$.
Así que supongamos $\lambda$ es un autovalor de a $AB$. A continuación,$ABx=\lambda x$.
Premultiplying ambos lados por $B$, obtenemos $BABx =BA(Bx) \lambda(Bx)$, lo que muestra que $\lambda$ también es un autovalor de a $BA$.