Raíces de un polinomio irreducible en un campo finito

Question

Dado un % polinomio irreducible $f \in K[x]$donde $|K|=q$ es un campo finito y $\deg(f)=n$. Si $\alpha$ es una raíz de $f$ ¿por qué $\alpha, \alpha^q, \dots, \alpha^{q^{n-1}}$ los candidatos sólo posibles para las raíces de $f$?

Answer 1

Modificado en respuesta a Arturo Magidin comentarios.

$\beta^q = \beta$ todos los $\beta \in \mathbb F_q$. También, en cualquier campo que incluye $\mathbb F_q$ como un subcampo, $(a-b)^q = a^q - b^q$. Ahora supongamos que $\alpha$ es un elemento en un campo que contiene $\mathbb F_q$ como un subcampo, y que $f(\alpha)= 0$. A continuación, $$ 0 = [f(\alpha)]^p = \left[\sum_{i=0}^n f_i \alpha^i\right]^q = \sum_{i=0}^n (f_i)^q (\alpha^i)^q = \sum_{i=0}^n f_i (\alpha^q)^i = f(\alpha^q) $$ y por lo $f(\alpha) = 0 \Rightarrow f(\alpha^q) = 0$. Sigue que los elementos $\alpha, \alpha^q, \alpha^{q^2}, \alpha^{q^3}\cdots $ son raíces de $f(x)$. ¿Cuántos de estos son distintos? Supongamos que $\alpha^{q^0}, \alpha^{q^1}, \cdots, \alpha^{q^{m-1}}$ son distintos elementos pero $\alpha^{q^m}$ es una repetición, es decir, $\alpha^{q^m} = \alpha^{q^i}$ algunos $i \in \{0, 1, \ldots, m-1\}$. Si $i$ fueron mayores que los de $0$, entonces tendríamos que $$\left(\alpha^{q^{i-1}}\right)^q = \alpha^{q^i} = \alpha^{q^m} = \left(\alpha^{q^{m-1}}\right)^q \Rightarrow \left(\alpha^{q^{i-1}}\right)^q - \left(\alpha^{q^{m-1}}\right)^q = 0 \Rightarrow \left(\alpha^{q^{i-1}} - \alpha^{q^{m-1}}\right)^p = 0$$ y por lo $\alpha^{q^{i-1}} = \alpha^{q^{m-1}}$ en contradicción con la hipótesis de que la $\alpha^{q^0}, \alpha^{q^1}, \cdots, \alpha^{q^{m-1}}$ son los distintos elementos. Llegamos a la conclusión de que $\alpha^{q^m} = \alpha$. Ahora consideremos el polinomio $g(x)$ se define como $$g(x) = \prod_{i=0}^{m-1}\left(x - \alpha^{q^i}\right) = \sum_{j=0}^m g_jx^j$$ cuyas raíces son la $m$ distintos elementos $\alpha^{q^0}, \alpha^{q^1}, \cdots, \alpha^{q^{m-1}}$. Entonces $$\begin{align*} [g(x)]^q &= \left[\prod_{i=0}^{m-1}\left(x - \alpha^{q^i}\right)\right]^q = \prod_{i=0}^{m-1}\left(x - \alpha^{q^i}\right)^q = \prod_{i=0}^{m-1}\left(x^q - \alpha^{q^{i+1}}\right)\\ &= \prod_{k=1}^{m}\left(x^q - \alpha^{q^{k}}\right) = \prod_{i=0}^{m-1}\left(x^q - \alpha^{q^i}\right) = g(x^q). \end{align*}$$ Por lo tanto, $\displaystyle [g(x)]^p = \left[ \sum_{j=0}^m g_jx^j\right]^q = \sum_{j=0}^m (g_j)^q(x^j)^q = \sum_{j=0}^m (g_j)^q(x^q)^j$ es igual a $\displaystyle g(x^q) = \sum_{j=0}^m g_j(x^q)^j$, es decir, demostrando que $(g_j)^q = g_j$$0 \leq j \leq m$. Por lo tanto, vemos que $g(x) \in \mathbb F_q[x]$. Pero, $g(x)$ es un divisor de a $f(x)$ que es dada para ser irreducible sobre $\mathbb F_q$. Por lo que debe ser que $m = n$ $f(x)$ es un escalar varios de $g(x)$. Por lo tanto, $\alpha^{q^0}, \alpha^{q^1}, \cdots, \alpha^{q^{n-1}}$ son precisamente las $n$ distintas raíces de el grado-$n$ irreductible polinomio $f(x) \in \mathbb F_q[x]$.

Answer 2

Son todas las raíces, en cualquier caso.

Tenga en cuenta que $K(\alpha)$ es una extensión de grado $n$$K$. El grupo de Galois es cíclica, es decir, generado por el Frobenius automorphism $a\longmapsto a^q$. Como siempre, la imagen de una raíz $\alpha$ de un polinomio $f(x)\in K[x]$ bajo cualquier elemento de $\mathrm{Gal}(E/K)$ donde $E$ es una extensión de Galois de $K$, también debe ser una raíz de $f$. En particular, si $\alpha$ es una raíz, entonces también lo es $\alpha^q$, por lo tanto también lo es $\alpha^{q^2}$, y así sucesivamente. El grupo de Galois es de orden $n$, así que terminamos con $\alpha$, $\alpha^q,\ldots,\alpha^{q^{(n-1)}}$ son todas las raíces.

Ahora, hay $n$ de ellos. La pregunta es si son todas diferentes. Si de verdad son todos distintos, entonces eso es todo, que son todas las raíces y la única manera posible de raíces.

Si $\alpha^{q^i} = \alpha^{q^j}$$0\leq i\leq j\leq n-1$, entonces eso significa que $\sigma^i(\alpha) = \sigma^j(\alpha)$ (donde $\sigma$ es el Frobenius automorfismos); a continuación,$\alpha = \sigma^{j-i}(\alpha)$, lo que significaría que $\alpha$ se encuentra en el campo fijo de $\langle \sigma^{j-i}$. Pero desde $K(\alpha)$ es generado por $\alpha$, $\alpha$ no se encuentran en cualquier estrictamente intermedio campo de $K(\alpha)/K$; eso significa que el campo fijo de $\sigma^{j-i}$ debe $K(\alpha)$, por lo tanto $\sigma^{j-i} = \mathrm{id}$, lo $j=i$. Por lo tanto, todos ellos son distintos, por lo que son, de hecho, todas las raíces.

Answer 3

Que $E = K(\alpha) = K[x] / (f(x))$. $\sigma \in \text{Gal}(E / K)$ $\sigma(\alpha)$ Es una raíz de $f(x)$. El grupo de Galois de finitos extensiones de campos finitos es (cíclico) de orden $n$. $\sigma_k(x) = x^{q^k}$ $0 \leq k < n$ son $n$ de estos automorfismos.