Encontrar todos los n tal que $\phi(n) = n/2$

Question

Mi idea para la solución es algo como esto:

Desde $2 | n$, $n = 2^a p_1^{e1} p_2^{e2} \cdots p_t^{et}$ donde $a \geq 1$.

Entonces, $n/2 = \phi(2^a) \phi(p_1^{e1}) \phi(p_2^{e2}) \cdots \phi(p_t^{et})$.

Mirando el caso de que $t = 0$,

$n/2 = \phi(2^a) = 2^{a-1}$ y por lo tanto $n = 2^a$.

Por otra parte, $n = 2^a \phi(p_1^{e1}) \phi(p_2^{e2}) \cdots \phi(p_t^{et}) = n = 2^a p_1^{e1} p_2^{e2} \cdots p_t^{et}$. Desde $\phi(n) < n$, esto es una contradicción, y por lo tanto, el único $n$ que se aplican son las potencias de 2.

¿Es esto correcto? También, se nos pidió encontrar $n$ tal que $\phi(n) = n/3$. ¿Cómo puedo que una?

Answer 1

Sabes que $$\frac{\varphi(n)} n = \prod_{p|n, p\text {primer}} \left[1-\frac 1p\right] $$

Así para cada primer $p_0$ % $ $$\prod_{p|n, p\text{ prime}}\left[1-\frac 1p\right]=\frac 1p_0$

implica, utilizando la unicidad de la descomposición en fracción irreductibles: $$\{p|n, p\text{ prime}\}=\{p_0\}$ $

Answer 2

Sugerencia:

Utilice el hecho eso si ceba $\;n=p_1^{a_1}\cdot p_k^{a_k}\;,\;\;p_i\;$, $\;a_i\in\Bbb N\;$, entonces

$$\phi(n)=n\prod_{i=1}^k\left(1-\frac1{p_i}\right)$$

por lo que

$$\frac n2=n\prod_{i=1}^k\left(1-\frac1{p_i}\right)\iff 2\prod_{i=1}^k\left(1-\frac1{p_i}\right)=1\iff\ldots$$

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