Estoy tratando de demostrar el siguiente teorema, y no estoy seguro de que mi prueba tiene.
Teorema. Deje $(X,d)$ ser un espacio métrico, $p\in X$, e $r >0$. A continuación, $$E = \left\{x\in X\ |\ d(x,p)\leq r\right\}$ $ es un subconjunto cerrado de $X$.
Prueba. $E$ es cerrado si y sólo si contiene todos los de su límite de puntos. Deje $\{x_n\} \subset E$ tal que $x_n \to x$. Pretendemos que $x \in E$. Desde $x_n$ converge, para todos los $\epsilon > 0$, existe una $N$, de tal manera que para todos los $n \geq N$, $d(x,x_n) < \epsilon.$
Por la desigualdad de triángulo $d(p,x) \leq d(p, x_n) + d(x_n, x)$, por lo que $d(p,x) < r + \epsilon$ todos los $\epsilon > 0$. Así, al menos $d(p,x) \leq r$, e $x$ está contenida en E. La prueba está completa.
Es mi negrita paso lógicamente equivocado? Gracias!
