Por qué no hay ningún "resto" en la multiplicación

Question

Con la división, usted puede tener un resto (como /2=2$remainder$). Ahora mi hijo de seis años hijo me ha preguntado "¿por Qué no hay resto con la multiplicación"? La respuesta obvia es "porque no tendría sentido", o simplemente "porque sí". Algo tengo la sensación de que los números primos son un poco como los restos como nunca se puede llegar a ellos con la multiplicación.

Hay una buena respuesta a la pregunta? (Distinta de la trivial?)

---

Comentarios adicionales después de muchas respuestas están escritas:

Estoy muy agradecido por todas las respuestas! Es una lástima que yo no puedo aceptar más de una. (Nota: realmente he dudado en hacer esta pregunta, como me pareció que esta es una pregunta tonta, yo casi eliminado después de lo publicado. Ahora que he recibido tantos puntos interesantes de ver, voy a intentar difícil encontrar buenos ejemplos, cuando el nuevo tema que se viene a hacer de él un sentido matemático.)

Lo que me faltaba (o el profesor de matemáticas/libro) son respuestas como se dio antes de la multiplicación y la división se introdujeron (como está escrito en un comentario).

La división con resto es parte de su libro de matemáticas (2º grado, pero un poco opcional). Así que esta pregunta no me sorprendió mucho.

Creo que cuando se le enseñó los números enteros, todos los ejemplos (de mí y tal vez el maestro), en el principio fueron como "4 manzanas de más de 5 manzanas es igual a ...". A continuación, el libro de matemáticas introduce la resta (todavía explicable con manzanas). Con la multiplicación y la división, los problemas perdido ejemplos concretos y la "pura matemática" se vuelve más dominante. Y quizás era un poco demasiado énfasis en la simetría (positivo y negativo y multiplicar y dividir son opuestas), lo cual es cierto, pero no (obviamente, que es de donde surgió la pregunta) completamente verdadero.

Answer 1

La división no tiene un resto. El resto es un artefacto (no uso esta palabra en un niño de seis años de edad) de una división incompleta.

Cuando hacemos una división larga, un resto que puede tener lugar en cualquier etapa del proceso de la división. De hecho, un resto mantiene ir de una etapa a la siguiente.

Cuando dividimos 529 por 3, ¿qué hacemos primero? Observamos que 3, "entra en" 5 una vez, y a partir de esto, hay un resto de 2. Si no prestamos atención acerca de la precisión, abajo a la unidad, sólo podríamos parar ahí. Podríamos almohadilla de nuestro cociente parcial con suficientes ceros a hacer 0$, and then append the remaining digits$ to the remainder. And thus 9\div 3 = 100, R\ 229$. Surely enough, checking our result, if we multiply \times 100$ we get 0$, and if we add 9$ to it, we get 9$.

Por supuesto, sabemos que 9\div 3$ isn't 0$. This is just an approximation which is good to within 0$. The actual number is in fact 0$-something. It's not less than 0$, and it's not 0$ o más.

Ahora por lo general no hacemos esto. No nos detendremos en la división de los cientos o decenas tomar un divertido resto. Nos suele dejar en la división de las unidades, y el resto no.

Esto es debido a que muchos de los objetos con los que trabajamos en el mundo real no se puede dividir, más allá de la unidad. Si queremos distribuir el 13 de juguetes entre 4 niños, todo el mundo tiene tres juguetes, y no es un juguete. No queremos dividir ese juguete en cuatro, porque va a ser destruido. Por lo tanto, utilizamos una forma de inexactitud de la matemática de la división que nos da un modelo de este mundo real, restricción: división de enteros con un resto.

Pero no la unidad de los restos puede ser útil también. Supongamos que la distribución de un gran número de juguetes al por mayor, y hay 24 juguetes en una caja. Los clientes deben obtener una caja entera; no dividir las cajas. Casillas sólo se abre en la tienda para vender individual juguetes.

Ahora supongamos que tengo 72$toys in my warehouse and$ stores approach me, all wanting to buy 0$toys. I don't have 00$ toys, so I decide to give the customers an equal number of toys based on what I have. Now 72 \div 5$gives us 4.4$, or 4\ R\ 2$. Great, each customer can have 4$ toys, with two toys left over I can keep. But wait, the toys are in boxes of $, so that can't work! I cannot ship 4$ toys, because that is 10 whole boxes, plus 14 toys from an open box. The calculation has to be done with boxes, not with toys. In fact I have 53 boxes of toys, and I can give the customers 10 boxes each, and have 3 boxes left over. So the remainder is \times 24 = 72$toys. In other words, in a real and useful sense, the remainder of dividing 72 \div 5$ can be 0$with remainder of$, cuando exigimos que el resultado sea un múltiplo de 24.

Así, a la pregunta: ¿podría haber un resto en la multiplicación? La respuesta es no. Un resto es una manera especial de expresar el error en un cálculo, peculiar de la inexactitud de la división. No tenemos que usar un resto para expresar el error en una división inexacta: simplemente podemos expresar de la división de error como la diferencia entre el cociente aproximado y exacto. Por ejemplo, % # % # % menos que el resultado exacto, y ese es el error.

Las multiplicaciones no puede tener un resto por dos razones. En primer lugar, multiplicationsare generalmente se llevan a cabo y, por tanto, exacto. No hay ninguna razón por qué una multiplicación de dos enteros quedaría incompleta, de la misma manera que podemos dejar una división de corto y hacer un balance de lo que está a la izquierda. En segundo lugar, multiplicaciones puede ser inexacta, cuando las entradas son fracciones (posiblemente sí mismos inexacta) y nos truncar el resultado a un número determinado de dígitos significativos. Sin embargo, cuando la multiplicación es inexacta, no expresamos el error como un resto.

El concepto de "resto" que es peculiar de la división. Cuando dividimos un número, y que el resultado ligeramente más pequeños, por lo que la división "funciona de manera uniforme" tenemos algo de "izquierda". Esto no se aplica en la multiplicación.

Tenga en cuenta también que en (ordinario) de la multiplicación, los dos operandos son equivalentes y es conmutativa. En \div 8$doesn't have to be \ R\ 1$; it could just be $with an error of$-1/8$, since the exact quotient is \frac{1}{8}$ and - 2\frac{1}{8} = -\frac{1}{8}$. The result is$\frac{1}{8}$: dividendo y el divisor no puede cambiar los papeles, y el resto está estrechamente relacionado con el divisor. Así que, de primeras tenemos un problema conceptual con un resto en la multiplicación: cual de los dos productos debe estar relacionado con el resto, como el divisor es de la división? Si queremos redondear el resultado de una multiplicación a algunos de los múltiples, y elegir para expresar el error como un resto relacionado con uno de los productos, debemos elegir el multiplicand / multiplicando? o el multiplicador? Y ¿por qué?

Answer 2

Yo diría que es como "la multiplicación es siempre exacta de cuando se multiplican dos y tres, la respuesta es exactamente seis."

Cuando se divide, básicamente se está haciendo lo contrario de la multiplicación, y la división no es exacta. Si usted está dividiendo siete por $, you get a result of$ with a remainder of 1 because 3 times $is "as close as possible" to$ as you can get without going over, but you still have an error, $.

Se puede decir también, "Cuando llegue a las fracciones, usted no necesita un resto, se obtiene un resultado."

Otra pregunta es, ¿por qué no obtener un resto al restar? De hecho, hay un momento en que usted puede obtener un error al restar - cuando se trata con los no-números negativos. Por ejemplo, ¿qué es -6$if you only know %#%#%,1,2,\dots$? In that case, you could say the result is %#%#%$with an error of$. But when we learn about negative numbers, we say instead that the result is $-3$.

Answer 3

Suena como una chica inteligente - que siempre vienen con preguntas interesantes! Me gustaría enfoque algo como esto.

La división permite responder a preguntas como, "Si una caja tiene cuatro manzanas y tengo trece manzanas, ¿cuántas cajas puedo llenar?" La respuesta es \div 4=3$, with remainder$. Eso significa que usted va a llenar tres cajas y tener una manzana que queda, que es lo que "el resto".

La multiplicación permite responder a preguntas como, "tengo tres cajas, cada una contiene cuatro manzanas. Cuántas manzanas tiene?" Esta vez, la respuesta es \times 4=12$. No hay resto, porque no hay nada más, porque todas las manzanas en cajas llenas para empezar.

Answer 4

Lo intentaré lo Lego (perdón por la publicidad)

Cuando multiplicamos dos números positivos obtenemos rectángulos 'perfectos' (%#% #%):

=6\times 8$

Cuando agregamos unos pequeños cuadrados en la parte inferior del rectángulo y divida por el ancho obtenemos un resto excepto si hemos añadido la anchura entera otra vez (%#% #%):

$\qquad$

Answer 5

Qué encantadora pregunta y respuestas muy interesantes.

Quisiera decir simplemente que la multiplicación es una forma rápida de agregar; al agregar cosas, no hay ninguna cantidad que queda. División es una forma rápida de restar, y del todo punto de la resta es averiguar lo que queda cuando algo es quitado.