Transformación de una EDP dados los vectores base

Question

Tengo un sistema de coordenadas no ortogonal definido por $\mathbf x=\mathbf x(r,\beta,z)$ y así puedo encontrar los vectores base como $$ \mathbf g_r=\frac{\partial \mathbf x}{\partial r},\quad\mathbf g_\beta=\frac{\partial \mathbf x}{\partial \beta},\quad \mathbf g_z=\frac{\partial \mathbf x}{\partial z},$$ donde $\mathbf g_r$ , $\mathbf g_\beta$ y $\mathbf g_z$ son funciones de $r$ y $\beta$ .

En este sistema de coordenadas he escrito un sistema de EDP, por ejemplo $$\frac{\partial v}{\partial r}+\rho(r)\frac{\partial v}{\partial z}=0 $$ para alguna función arbitraria conocida $\rho(r)$ .

Ahora quiero sustituir el $\mathbf g_z$ dirección de coordenadas con una nueva, definida como $\mathbf g_n=\mathbf g_r\times\mathbf g_\beta$ . Puedo escribir $\mathbf g_n=f(r)\mathbf g_r+g(r)\mathbf g_\beta+h(r)\mathbf g_z$ o $\mathbf g_z=\tilde f(r)\mathbf g_r+\tilde g(r)\mathbf g_\beta+\tilde h(r)\mathbf g_n$ .

Aquí es donde no estoy seguro de qué hacer a continuación. Teniendo en cuenta la ecuación de $\mathbf g_z$ En cuanto a las otras direcciones, he considerado hacer lo siguiente: $$\begin{align} \frac{\partial}{\partial z}&=\frac{\partial}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial z}+\frac{\partial}{\partial \beta}\frac{\partial\beta}{\partial z}+\frac{\partial}{\partial n}\frac{\partial n}{\partial z} \\ &=\tilde f(r)\frac{\partial}{\partial r}+\tilde g(r)\frac{\partial}{\partial \beta}+\tilde h(r)\frac{\partial}{\partial n} \end{align}$$ sin embargo esto se siente mal. Creo que necesito usar ecuaciones para $r$ , $\beta$ y $n$ en términos de $r$ , $\beta$ y $z$ entonces haz la regla de la cadena para las derivadas.

Dadas las direcciones de las coordenadas, $\mathbf g_r$ , $\mathbf g_\beta$ y $\mathbf g_n$ ¿Cómo puedo encontrar estas ecuaciones para las transformaciones de las variables en la EDP?

Answer 1

Introduciré un poco de notación para que la explicación sea más fluida. Empecemos con un sistema de coordenadas $u^i=(u^1,u^2,u^3)$ . El campo vectorial con respecto a esta notación puede escribirse $\mathbf x = \mathbf x (u^1,u^2,u^3) = \mathbf x (u^i)$ . Asumiré que trabajamos en el espacio euclidiano, sólo que el sistema de coordenadas es curvilíneo. Así que podemos expresar nuestro campo vectorial con respecto a una base euclidiana como $\mathbf x = x^k \mathbf e_k$ . Así, las coordenadas $x^k$ dependen de las coordenadas curvilíneas $x^k=x^k(u^i)$ . Obsérvese que utilizo la convención de suma de Einstein, lo que significa que siempre que aparecen índices superiores e inferiores coincidentes, está implícita una suma sobre todos los valores posibles del índice. En otras palabras

$$\mathbf x = x^k \mathbf e_k = x^1 \mathbf e_1 + x^2 \mathbf e_2 + x^3 \mathbf e_3$$

Introduciendo la base que te interesa ahora podemos escribirla en términos de la base euclidiana :

$$\mathbf g_i = \frac{\partial \mathbf x}{\partial u^i} = \frac{\partial x^k}{\partial u^i} \mathbf e_k$$

También podemos definir la transformación inversa como

$$\mathbf e_k = \frac{\partial u^i}{\partial x^k} \mathbf g_i$$

en el que $\frac{\partial u^i}{\partial x^k}$ es por tanto un coeficiente de la matriz inversa de la que $\frac{\partial x^k}{\partial u^i}$ es un coeficiente. Así que

$$\frac{\partial x^k}{\partial u^i}\frac{\partial u^i}{\partial x^l} = \delta^k_l \text{ (*)}$$

con $\delta^k_l$ El delta de Kronecker.

Si ahora queremos definir un nuevo vector

$$\mathbf g_n = \mathbf g_1 \times \mathbf g_2$$

podemos calcular sus coeficientes con respecto a la base euclidiana

$$\mathbf g_n = \frac{\partial \mathbf x}{\partial u^1} \times \frac{\partial \mathbf x}{\partial u^2} = \frac{\partial x^k}{\partial u^1} \mathbf e_k \times \frac{\partial x^l}{\partial u^2} \mathbf e_l = \frac{\partial x^k}{\partial u^1} \frac{\partial x^l}{\partial u^2} \mathbf e_k \times \mathbf e_l \; .$$

Presentación de la nueva notación

$$\mathbf e_k \times \mathbf e_l = \epsilon_{kl}^{\phantom{kl}m}\mathbf e_m$$

en el que $\epsilon_{kl}^{\phantom{kl}m}$ es el Símbolo de Levi-Civita podemos escribir

$$\mathbf g_n = \epsilon_{kl}^{\phantom{kl}m} \frac{\partial x^k}{\partial u^1} \frac{\partial x^l}{\partial u^2} \mathbf e_m = \epsilon_{kl}^{\phantom{kl}m} \frac{\partial x^k}{\partial u^1} \frac{\partial x^l}{\partial u^2} \frac{\partial u^i}{\partial x^m} \mathbf g_i $$

donde en el último paso utilizamos la transformación inversa para expresar la nueva $\mathbf g_n$ en términos de $\mathbf g_i$ .

La primera observación es que por construcción está claro que $\mathbf g_n$ no es un vector real sino un pseudovector, ya que es el resultado de un producto cruzado de vectores. Así que esto puede dar lugar a algunos problemas más adelante.

Ahora bien, si suponemos que el $$(\mathbf g_1,\mathbf g_2, \mathbf g_n)$$ forman una base natural por derecho propio, debería ser posible averiguar cómo $(u^1,u^2,n)$ dependen del $x^i$ porque deberíamos tener una relación de la forma

$$(\mathbf g_1, \mathbf g_2, \mathbf g_n)^{\text T}(\nabla u^1,\nabla u^2,\nabla n)=\mathbb{I}_3$$

o aplicando la inversa de la matriz izquierda a la izquierda de cada lado

$$(\nabla u^1,\nabla u^2,\nabla n)=\frac{1}{\mathbf g_1\cdot(\mathbf g_2\times\mathbf g_n)}(\mathbf g_2\times\mathbf g_n, \mathbf g_n\times\mathbf g_1, \mathbf g_1\times\mathbf g_2) = \frac{1}{\mathbf g_1\cdot(\mathbf g_2\times\mathbf g_n)}(\mathbf g_1(\mathbf g_2\cdot\mathbf g_2) - \mathbf g_2(\mathbf g_1\cdot\mathbf g_2), \mathbf g_2(\mathbf g_1\cdot\mathbf g_1) - \mathbf g_1(\mathbf g_1\cdot\mathbf g_2), \mathbf g_n)\; .$$

Ahora, la misma fórmula existe para el $(\mathbf g_1, \mathbf g_2, \mathbf g_n)$ es de hecho la fórmula (*) anterior pero que reescribiré en forma vectorial

$$(\nabla u^1,\nabla u^2,\nabla u^3)=\frac{1}{\mathbf g_1\cdot(\mathbf g_2\times\mathbf g_3)}(\mathbf g_2\times\mathbf g_3, \mathbf g_3\times\mathbf g_1, \mathbf g_1\times\mathbf g_2) \; .$$

Obsérvese que los dos primeros componentes vectoriales del lado izquierdo son correspondientes, por lo que cabría esperar lo mismo en el lado derecho, pero esto lleva a una contradicción. En efecto, como se puede ver, el producto cruzado de las primeras componentes de los lados de la derecha es

$$(\mathbf g_2\times\mathbf g_n)\times(\mathbf g_2\times\mathbf g_3)=\mathbf g_2\cdot(\mathbf g_3\times\mathbf g_n)\mathbf g_2$$

que es distinto de cero en general porque los tres vectores deben ser linealmente independientes en general. En efecto, $\mathbf g_n$ es ortogonal en $\mathbf g_2$ y por $\mathbf g_3$ siendo diferente de $\mathbf g_n$ no hay ninguna razón en general por la que debamos esperar que esté en el plano abarcado por $\mathbf g_2$ y $\mathbf g_3$ .

Así, en el lado derecho, las primeras componentes conducen a dos vectores linealmente independientes en general, mientras que el lado izquierdo nos decía que debían ser iguales. Una clara contradicción. ¿Hay alguna forma de resolver este problema?

Sospecho que si haces un cambio de base en el que consideres exactamente la base recíproca y no sólo cambies el último componente de la base recíproca, tendrás exactamente lo que necesitas.

EDITAR : Sólo para exponer mi proceso de pensamiento: partiendo de nuevo de la relación (*) pero en forma vectorial

$$(\mathbf g_r, \mathbf g_{\beta}, \mathbf g_z)^{\text T}(\nabla r,\nabla \beta,\nabla z)=\mathbb{I}_3$$

o bien

$$(\nabla r,\nabla \beta,\nabla z)=\frac{1}{\mathbf g_r\cdot(\mathbf g_ {\beta}\times\mathbf g_z)}(\mathbf g_{\beta}\times\mathbf g_z, \mathbf g_z\times\mathbf g_r, \mathbf g_r\times\mathbf g_{\beta}) \; .$$

Si ahora suponemos que el lado derecho de esta ecuación forma una base natural para alguna elección de coordenadas $(l,m,n)$ entonces debe ser cierto que

$$\left(\left((\mathbf g_r, \mathbf g_{\beta}, \mathbf g_z)^{\text T}\right)^{-1}\right)^{\text T}(\nabla l,\nabla m,\nabla n)=\mathbb{I}_3$$

así

$$(\nabla l,\nabla m,\nabla n) = (\mathbf g_r, \mathbf g_{\beta}, \mathbf g_z)$$

Por otro lado, escribamos $(\tilde{\nabla} l,\tilde{\nabla} m,\tilde{\nabla} n)$ para la matriz de derivadas de $(l,m,n)$ por ejemplo $(r,\beta,z)$ entonces

$$(\nabla r,\nabla \beta,\nabla z)(\tilde{\nabla} l,\tilde{\nabla} m,\tilde{\nabla} n)=(\nabla l,\nabla m,\nabla n)$$

Multiplicando ambos lados por $(\mathbf g_r, \mathbf g_{\beta}, \mathbf g_z)^{\text T}$ obtenemos

$$(\tilde{\nabla} l,\tilde{\nabla} m,\tilde{\nabla} n) = (\mathbf g_r, \mathbf g_{\beta}, \mathbf g_z)^{\text T}(\mathbf g_r, \mathbf g_{\beta}, \mathbf g_z)$$

El lado derecho puede ser calculado para dar

$$\left(\begin{array}{ccc} 1+H'(r)^2 & PH'(r) & H'(r) \\ PH'(r) & r^2+P^2 & P \\ H'(r) & P & 1 \end{array}\right)$$

Es evidente que no hay soluciones $(l,m,n)$ a esas ecuaciones.