Cómo mostrar la suma de las imágenes de tales proyecciones de $m$ es directa y todo el espacio?

Question

Hay $m$ proyecciones (cuyos cuadrados son en sí mismos) $\phi_1,\cdots,\phi_m$ que actúa sobre una finito-dimensional espacio vectorial $V$ tal que $$\phi_i\phi_j=0\quad i\ne j\tag{1}$$ donde $0$ indica el cero de la transformación, y que $$\bigcap_{1}^m \text{Ker}\phi_i=0\tag{2}$$ donde $0$ denota el vector cero en el espacio. Demostrar que $$\bigoplus_{1}^m \text{Im}\phi_i=V$$

Me han demostrado con éxito que la suma es directa, pero no para mostrar la suma es exactamente $V$. Puesto que sólo se utiliza el argumento (1) para mostrar la franqueza, parece que tengo que usar el (2) para mostrar la suma es de hecho todo el espacio. Pero para mí que puedo hacer acerca de eso.

Un enfoque posible es tratar de mostrar que $\phi_1+\cdots+\phi_m=\text{id}$ o $\text{id}-\phi_1=\phi_2+\cdots+\phi_m$, ya que el $\text{Im}\phi_i\oplus\text{Ker}\phi_i(=\text{Im}(\text{id}-\phi_i))=V$ y tal vez podamos llegar a $\text{Ker}$ involucrada de alguna manera en este camino. Pero he hecho ningún progreso.

Cualquier ayuda o sugerencia será bienvenida, gracias.

Answer 1

Tomar un hipotético vector que no está en la suma directa de las imágenes. La aplicación de una proyección de los rendimientos de un vector de la imagen correspondiente. Esto restando de la original vector de rendimientos de un elemento distinto de cero en la proyección del núcleo. Podemos hacer esto para todas las proyecciones a la vez para obtener un vector distinto de cero en la intersección de los núcleos, lo cual es una contradicción.

Más sucintamente, $$v-\phi_1(v)-\cdots-\phi_n (v) $$ siempre está en la intersección de todos los núcleos, por lo que es 0. Así $$v=\phi_1(v)+\cdots+\phi_n (v) $$ De modo que el vector está visiblemente en el lapso de las imágenes. Esta es, esencialmente, una idea que ya hemos tenido.