Numéricamente, parecen ser el mismo, pero podemos demostrar que $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{\sigma(k)}{k}=\zeta(2),$ $ $\sigma(k)$ Dónde está la suma de divisores de $k$.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Observe que $\frac{\sigma(k)}{k} = \displaystyle \sum_{d | k} \frac{1}{d}$, ya que el $\sigma(k)$ es sólo la suma de los divisores de a $k$.
Entonces podemos escribir $$ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{\sigma(k)}{k} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left(\sum_{d | k} \frac{1}{d}\right) = \frac{1}{n} \sum_{d=1}^n \frac{\left[\frac{n}{d}\right]}{d} $$ dado que el término $\frac{1}{d}$ muestra una vez para cada una de las $k$ a partir del 1 de a $n$ que es un múltiplo de a $d$.
Tomando el límite cuando $n \rightarrow \infty$, obtenemos $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{d=1}^n \frac{\left[\frac{n}{d}\right]}{d} = \sum_{d=1}^\infty \frac{1}{d^2} = \zeta(2). $$
