relaciones de equivalencia triviales pero no triviales

Question

Definir una relación binaria $R$ en un conjunto $A$ diciendo $xRy$ si $x$ y $y$ tienen el mismo lo que sea .

"Lo que sea" es, por supuesto, alguna función especificada en $A$ .

Se trata de una relación de equivalencia "trivial": se especifica, en efecto, la partición del conjunto $A$ .

Definir otra relación binaria $S$ en $A=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}$ diciendo $xSy$ si $x-y$ es un múltiplo de $3$ .

Los estudiantes que no han pensado en esto no dicen instantáneamente "Oh, ya veo: $xSy$ si $x$ y $y$ dejan el mismo resto en la división por $3$ ." En su lugar, pasan a demostrar la reflexividad, la simetría y la transitividad a partir de la definición. Al demostrar la transitividad se preguntan si $x-y$ es un múltiplo de $3$ y $y-z$ es un múltiplo de $3$ implica $x-z$ es un múltiplo de $3$ y puede que tengan que pensar en ello antes de que se les ocurra $x-z=(x-y)+(y-z)$ . Después de todo, ¿qué poseería a alguien para restar $y$ ¿sólo para volver a añadirlo al instante?

Por tanto, se trata de una relación de equivalencia "no trivial" en el sentido de que no se especifica instantáneamente la partición de $A$ Y demostrar las tres propiedades requiere algo de álgebra más que conocer la definición de las tres propiedades o saber qué partición se utiliza. De hecho, después de haber demostrado las tres propiedades, no es obvio hasta que se piensa más en qué partición se trata. Pero, por otro lado, es trivial en el sentido de que pueden hacer el álgebra sin que aparezcan ideas abstrusas en el álgebra que es de lo que trata el problema.

¿Qué otros ejemplos de este tipo existen, adecuados como ejercicios en una clase en la que se introduce por primera vez la idea de las relaciones de equivalencia?

En otras palabras, se buscan ejemplos en los que

• La reflexividad, la simetría y la transitividad no serán obvias en virtud de que la relación se ha definido diciendo qué es el conjunto-partición;
• Demostrar esas tres propiedades requiere más trabajo que simplemente perseguir las definiciones de esas tres propiedades;
• Pero probarlos no es tan difícil como para que eso se convierta en la parte difícil del problema;
• Después de haberlos probado, todavía tienen que pensar un poco más para averiguar cuál es la partición.

Edición posterior: Me gustaría que las cosas fueran utilizables en un curso que estoy enseñando, cuyo único prerrequisito es el cálculo de primer semestre, que en realidad no se utiliza. No puedo utilizar conceptos que me llevarían mucho tiempo desarrollar.

Answer 1

Creo que el mejor ejemplo puede ser uno de los más sencillos, el de las fracciones. Probablemente, pocos o ninguno de sus alumnos se han encontrado con la riguroso construcción de números racionales por pares. Aquí las clases de equivalencia pueden ser vistas como (la pendiente de) líneas discretas en $\mathbb Z^2$ de paso $(0,0)$ . Pero esto probablemente no será inmediato para la mayoría de los estudiantes de este nivel. Sin embargo, sirve como un excelente ejercicio porque obliga a los estudiantes a hacer riguroso uno de los ejemplos más intuitivos de una relación de equivalencia. Se trata de la pons asinorum de la teoría de las relaciones de equivalencia.

Answer 2

¿Qué tal si tomas $A$ sea un conjunto de funciones de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ y definiendo la relación de equivalencia $fRg$ para significar $\lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$ (y en particular el límite existe)? Si $A$ es el conjunto de polinomios, entonces puedes demostrar que esta relación es "trivial" en tu sentido, pero quizás no "trivialmente trivial". Si $A$ es mayor, entonces no es tan trivial.

Answer 3

Un ejemplo bastante no trivial, al menos para los estudiantes de grado, es demostrar que la relación de homotopía de los mapas continuos es una relación de equivalencia. El hecho no trivial aquí es que la transitividad se basa en el lema de encolado. Tal vez no sea necesario formular el ejercicio en toda su generalidad (es decir, si los estudiantes de grado se asustan por las cosas abstractas). Por ejemplo, podría bastar con considerar mapas continuos entre espacios euclidianos.

Yo soy muy sin embargo si este ejemplo cumple con todos los criterios de su ejercicio deseado..

Answer 4

Isomorfismos para espacios vectoriales de dimensión finita.

Answer 5

Proyectiva $n$ -como el conjunto de puntos $[a_0\colon\cdots\colon a_n]$ con $[a_0\colon\cdots\colon a_n] = [b_0\colon\cdots\colon b_n]$ si y sólo si existe $\lambda\neq 0$ con $a_i=\lambda b_i$ para $i=1,\ldots,n$ .

Corresponden a líneas que pasan por el origen en afín $n$ -espacio.