Cómo puedo evaluar $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1\cdot2+2\cdot3 +3\cdot4 +4\cdot5+\ldots}{n^3}$

Question

Cómo encontrar este límite: $$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1\cdot2+2\cdot3 +3\cdot4 +4\cdot5+\ldots+n(n+1)}{n^3}$$ As, if we look this limit problem viz. $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1+2+3+\ldots+n}{n^2}$ entonces tomar la suma del numerador que es la suma del primera n los números naturales y podemos escribir:

$$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{n(n+1)}{2n^2}$ $ que da después de simplificación:

$$ \frac{1}{2} $$ as other terms contain $\frac{1}{x}$ etc. y se convierte en cero.

Answer 1

$$\sum_{1\le r\le n}r(r+1)=\sum_{1\le r\le n}r^2+\sum_{1\le r\le n}r=\frac{n(n+1)(2n+1)}6+\frac{n(n+1)}2$$

So, $$\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{1\le r\le n}r(r+1)}{n^3}$$ $$=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}6+\frac{n(n+1)}2}{n^3}\right)$$

$$=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{(1+\frac1n)(2+\frac1n)}6+\frac{(\frac1n+\frac1{n^2})}2\right)$$

$$=\frac{1\cdot2+0}6+\frac02=\frac13$$

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Por otra parte,

$$\frac{n(n+1)(2n+1)}6+\frac{n(n+1)}2=\frac{n(n+1)}6\left(2n+1+3\right)=\frac{n(n+1)(n+2)}3$$

$$\implies\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{1\le r\le n}r(r+1)}{n^3}=\lim_{n\to\infty}\frac{n(n+1)(n+2)}{3n^3}=\frac13\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)\left(1+\frac2n\right)=\frac13$$

Answer 2

Principio de compresión también puede ayudar. Tenga en cuenta % $ $$\lim_{n \to \infty}\frac{ 1\cdot 1 + 2\cdot 2 + 3 \cdot 3 + \cdots + n \cdot n}{n^{3}} \leq \lim_{n \to \infty}\frac{1\cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + n\cdot(n+1)}{n^{3}}\leq \lim_{n\to\infty}\: \frac{2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +(n+1)^{2}}{n^{3}}$

$$\Longrightarrow \frac{1}{3} \leq \lim_{n \to \infty}\frac{1\cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + n\cdot(n+1)}{n^{3}} \leq \frac{1}{3}$$

Answer 3

O podemos aplicar el Teorema de Stolz-Cesàro para obtener $$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1\cdot2+2\cdot3 +3\cdot4 +4\cdot5+\ldots+n(n+1)}{n^3}=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+2)(n+1)}{(n+1)^3-n^3}=\lim_{n\to \infty}\frac{(n+2)(n+1)}{3n^2+3n+1}=\frac{1}{3} $ $