Problema del reto: demostrar que esta secuencia es convergente.

Question

Tenía esta difícil pregunta de un libro de texto, y no he podido averiguar la solución.

digamos que tenemos una secuencia de números reales acotados $a_n$ tal que $2a_n \leq a_{n-1} + a_{n+1} \forall n\in\mathbb{N}$ . Demuestre que esta secuencia converge.

Lo que he probado: Hice un poco de álgebra y luego traté de usar el criterio de Cauchy, ya que no conocemos el límite, pero sabemos la relación entre los términos.

También he intentado mover las cosas y reindexar y utilizar la delimitación, pero no he podido encontrar nada allí tampoco.

ya que converge de forma acotada y monótona.

se agradecería cualquier ayuda

Answer 1

Definir $b_n=a_{n+1}-a_n$ . Entonces $b_n$ está acotada y la condición dada se convierte en $$b_{n-1}\le b_n.$$ Así que $b_n$ es monótonamente creciente y, por tanto, converge.

Ahora tenemos $$a_n=a_0+\sum_{i=0}^{n-1}b_i$$

Dejemos que $$\lim_{n\to\infty}b_n=c > 0$$ .

Entonces existe $N$ tal que $b_n>c/2$ para todos $n>N$ y por lo tanto $a_n$ no estará acotado para un tamaño suficientemente grande de $n$ . El caso es similar para $c < 0$ . Así que concluimos que $c=0$ .

Porque $b_n$ es creciente y el límite es $0$ , $b_n \le 0$ .

Por lo tanto, $a_n$ es decreciente. Porque $a_n$ está acotada, por lo que converge.