Cobertura de grupos finitos mediante uniones de subgrupos propios

Question

Un grupo finito no cíclico $G$ puede expresarse como la unión de algunos de sus subgrupos propios. (Digamos que los subgrupos "cubren" $G$ en este caso). Un ejercicio relativamente sencillo en algunos textos introductorios de álgebra, por ejemplo Jacobson [Basic Algebra I, 2ed p 36 ex 14 ], consiste en demostrar que ningún grupo es la unión de dos subgrupos propios. Así que pensé ¿qué pasa si se permiten más subgrupos propios? No se puede expresar un grupo cíclico como unión de subgrupos propios, ya que uno de los subgrupos contendría el generador y, por tanto, no sería propio. Por otra parte, si $G$ es no cíclico tiene tal expresión, ya que se pueden formar todos los grupos cíclicos generados por los elementos de $G$ y su unión es $G$ y cada una es adecuada ya que $G$ no es cíclico.

Mi pregunta es sobre el número mínimo de subgrupos propios necesarios para cubrir un grupo no cíclico dado $G.$ Si este número mínimo se denomina $m(G)$ entonces encontré por ejemplo $m(S_3)=4$ y también $m(K)=3$ para el grupo simétrico $S_3$ y el cuatrigrupo de Klein $K.$ Me interesaría saber si se sabe algo sobre $m(S_n)$ en general, o en qué $m(G)$ resulta ser para otras familias de grupos. (Incluso algunos ejemplos más de $m(S_n)$ para pequeños $n$ estaría bien). Otro caso interesante podría ser el de los grupos multiplicativos de elementos invertibles mod $n$ (en los casos en que no exista una raíz primitiva).

Answer 1

Se trata de un invariante bien estudiado, que se remonta a G. Scorza quien, en 1926, demostró que los grupos $G$ con $m(G) = 3$ son los que tienen $C_2^2$ como imagen homomórfica. Pero mucho se ha hecho desde entonces. Aquí unas bonitas diapositivas de una charla de Martino Garonzi. Con ellas y las referencias que aparecen al final podrás empezar.

Answer 2

Como ha señalado, un grupo no puede ser la unión de dos de sus subgrupos propios. Podría ser interesante saber, que la investigación se ha hecho sobre cómo esto podría generalizar.

Teorema (Bruckheimer, Bryan y Muir) Un grupo es la unión de tres subgrupos propios si y sólo si tiene un cociente isomorfo a $C_2 \times C_2$ .

La prueba apareció en la revista American Math. Monthly $77$ No. $1 (1970)$ . El teorema parece haber sido demostrado anteriormente por el matemático italiano Gaetano Scorza, Grupos que pueden considerarse como la suma de tres de sus subgrupos Boll. Un. Mat. Ital. $5 (1926), 216-218$ .

Para 4, 5 ó 6 subgrupos se cumple un teorema similar y el grupo 4 de Klein se sustituye en cada uno de los casos por algún conjunto finito de grupos. Para 7 subgrupos, sin embargo, no es cierto: ningún grupo puede escribirse como unión de 7 de sus subgrupos propios. Tomkinson lo demostró en 1997.

Mira Bhargava ha elaborado un buen documento de síntesis, Grupos como uniones de subgrupos The American Mathematical Monthly, $116$ No. $5, (2009)$ .