Lógica modal como cociente lógica Boolean valores

Question

Nunca he estudiado lógica modal, pero para mi la mejor comprensión de este es similar a la lógica clásica y la adición de dos modal operaciones:

1. $\square P\ $ , lo cual significa , necesariamente, $P$,
2. $\lozenge P\ $ , lo cual significa que posiblemente $P$.

Ahora bien, si tenemos en cuenta Boolean valores de la lógica, en la cual se toma una completa álgebra Booleana y deja que la verdad valores de los elementos del álgebra de boole, donde la evaluación se utiliza el álgebra de boole, así:

• $\|\psi\land\varphi\| = \|\psi\|\cdot\|\varphi\|$
• $\|\psi\lor\varphi\|=\|\psi\|+\|\varphi\|$
• $\|\lnot\psi\| = -\|\psi\|$
• $\|\exists x\varphi(x)\| = \sum\|\varphi(y)\|$

Si tomamos una ultrafilter en el álgebra Booleana, volvemos a la habitual de dos valores de la lógica dejando $\|\varphi\|\in\mathcal U$ true, y false de lo contrario.

Sin embargo, si sólo tomamos $\mathcal U$ a ser un filtro, podemos pensar en él como un "necesario" predicado en $B$? que es $\|\square\varphi\|=1\iff\|\varphi\|\in\mathcal U$, e $\|\lozenge\varphi\|=1\iff\|\lnot\varphi\|\notin\mathcal U$ (ambos valores se $0$ lo contrario).

Si la respuesta es en realidad sí, se trata de una caracterización completa de todos los de la lógica modal, que es todo cociente de un Boolean valores de la lógica es la lógica modal, y viceversa?

Answer 1

Como Zhen Lin indica, esto no puede ser una "caracterización completa de todos los modales de la lógica." Parece estar cerca de una caracterización de una particular lógica modal. El más simple no trivial del sistema es sin duda el llamado S5, en el que las iteraciones de operadores modales son equivalentes a una sola. Usted puede estar cerca de una caracterización de este sistema, aunque no he visto el tuyo en la impresión.

En lo que sigue me disculpo por no entrar en los símbolos apropiados. (Se está haciendo tarde aquí.)

En su pregunta como puedo leer ahora, parece existir un error tipográfico en el penúltimo párrafo. La condición por la que necesariamente phi se ha "= 1" a la izquierda de la flecha doble. La condición para posiblemente phi debe tener "= 0". Supongo que es lo que pretende.

Se obtiene S5 si uno agrega también las condiciones que necesariamente phi es igual a cero elemento iff phi está ausente del filtro, y posiblemente phi es igual a la unidad elemento iff phi está ausente del filtro. Dado que el filtro no necesita ser una ultrafilter, phi y su negación no pueden ser ambas ausentes, que corresponde posiblemente P y posiblemente no-P no tanto de ser cierto.

Creo que esto funciona correctamente para proposicional S5. El cuantificador de curso introduce complicaciones, por lo que no estoy seguro acerca de eso.

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