Soluciones integrales $(a,b,c)$ para $a^\pi + b^\pi = c^\pi$

Question

Sabemos que $a^n + b^n = c^n$ no tiene solución si $n > 2$ y $a, b, c, n \in \mathbb{N}$, pero ¿y si $n \in \mathbb{R}$? ¿Tenemos alguna afirmación al respecto?

Estuve pensando en esto pero no pude encontrar contraejemplos inmediatos.

En concreto, ¿puede ser $a^\pi + b^\pi = c^\pi$ para $a, b, c \in \mathbb{N}$?

Encontré esto. Tiene una demostración existencial de que $\exists \ n \in \mathbb{R}$ para cualquier $(a, b, c)$

La pregunta sigue abierta para $n = \pi$.

Esta pregunta es solo por diversión para ver si podemos encontrar una prueba simple :)

Answer 1

El artículo de Wikipedia sobre el último teorema de Fermat tiene una sección completa al respecto, con numerosas referencias. Aquí hay algunos resultados (ver el artículo para referencias precisas):

• La ecuación $a^{1/m} + b^{1/m} = c^{1/m}$ tiene soluciones $a = rs^m$, $b = rt^m$ y $c = r(s+t)^m$ con enteros positivos $r,s,t>0$ y $s,t$ coprimos.
• Cuando $n > 2$, la ecuación $a^{n/m} + b^{n/m} = c^{n/m}$ tiene soluciones enteras si $6$ divide a $m$.
• La ecuación $1/a + 1/b = 1/c$ tiene soluciones $a = mn + m^2$, $b = mn + n^2$, $c = mn$ con $m,n$ enteros positivos y coprimos.
• Para $n = -2$, hay nuevamente un número infinito de soluciones.
• Para $n < -2$ siendo un entero, no puede haber solución, porque eso implicaría que hay soluciones para $|n|$.

No sé si se conoce algo sobre exponentes irracionales.