La composición de dos funciones convexas es convexa

Question

Dejemos que $f$ sea una función convexa en un dominio convexo $\Omega$ y $g$ una función convexa no decreciente sobre $\mathbb{R}$ . demostrar que la composición de $g(f)$ es convexo en $\Omega$ . ¿En qué condiciones se $g(f)$ estrictamente convexo.

Mi intento, desde $f$ es convexo, $$f([1-t]x_0 +ty_0)\le [1-t]f(x_0) + tf(y_0)\:,\quad t \in [0,1] \,\text{and} \: x_0,y_0\in \Omega$$ Desde $g$ es convexo $$g([1-s]x_1 +sy_1) \le [1-s]g(x_1) + sg(y_1)\:,\quad s \in [0,1]\:and \: x_1,y_1 \in \mathbb{R}$$ Así que $$g([1-s]f([1-t]x_2 +ty_2) +sf([1-t]x_2 +ty_2)) \\\le [1-s]g([1-t]f(x_2) + tf(y_2)) + sg([1-t]f(x_3) + tf(y_3))\: for\:x_2,y_2,x_3,y_3 \in \Omega.$$ No estoy seguro de que esto sea siempre así.

Se agradecería cualquier ayuda. Gracias

Answer 1

Queremos demostrar que para $x, y \in \Omega$ , $(g \circ f)\left(\lambda x + (1 - \lambda) y\right) \le \lambda (g \circ f)(x) + (1 - \lambda)(g \circ f)(y)$ .

Lo tenemos: \begin {align} (g \circ f) \left ( \lambda x + (1 - \lambda ) y \right ) &= g \left (f \left ( \lambda x + (1 - \lambda ) y \right ) \right ) \\ & \le g \left ( \lambda f(x) + (1 - \lambda ) f(y) \right ) & \text {(} f \text { convexo y } g \text { no decreciente)} \\ & \le \lambda g(f(x)) + (1 - \lambda )g(f(y)) & \text {(} g \text { convexo)} \\ &= \lambda (g \circ f)(x) + (1 - \lambda )(g \circ f)(y) \end {align}