Enseñando a mi topología diferencial y geometría diferencial

Question

Tengo una nebulosa noción de algunas cosas en la geometría diferencial y una mejor, pero todavía no muy rigurosa comprensión de los conceptos básicos de la topología diferencial.

Me he decidido a corregir esta ausencia de una vez por todas. Por desgracia no puedo asistir a un curso ahora. Debe enseñar a mí mismo todas las cosas mediante la lectura de libros.

Hacia este propósito quiero saber cuáles son los más importantes teoremas básicos de la geometría diferencial y topología diferencial. Para empezar, para la topología diferencial, creo que debe leer Stokes y teorema teorema de de Rham con completar las pruebas.

La geometría diferencial es un poco más difícil. ¿Qué es una relación? Cuál es la noción debo usar? Quiero saber sobre el transporte paralelo y holonomy. ¿Cuáles son los más importantes y teoremas fundamentales aquí? Hay concisa de los libros que me puede enseñar las cosas más rápido que el voluminoso Spivak libros?

Finalmente, también quiero leer en algunos de geometría algebraica y Hodge/Kähler cosas.

Sugerencias acerca de las importantes teoremas y conceptos a aprender, y referencias de libros, que serán más útiles.

Answer 1

ADEMÁS: he recopilado lo que creo que es una colección definitiva de listmanias en Amazon para una mejor selección de los libros de una de las referencias, en su mayoría, en orden creciente de dificultad, en casi cualquier rama de la geometría y la topología. En particular, los libros que recomendamos a continuación para diferencial topología y geometría diferencial; yo llenar de esperanza en los comentarios de cada título como tengo el tiempo en el futuro.

Si usted quiere tener un conocimiento general de la Física de sabor de los mejores libros son Nakahara's "la Geometría, la Topología y Física" y por encima de todo: Frankel's "La Geometría de la Física" (gran libro, pero a veces su notación puede fallo mucho en comparación con los estándares).

Si usted desea aprender Topología Diferencial estudio de estos y en este orden: Milnor's "Topología de una Diferenciable punto de vista", Jänich/Bröcker's "Introducción a la Topología Diferencial" y Madsen"s "De Cálculo de la Cohomology". Aunque siempre es bueno tener un conocimiento de trabajo de general de punto de ajuste de la topología de que usted puede aprender rápidamente de Jänich's "Topología" y con más rigor con Runde's "Un Sabor de Topología".

Para iniciar la Topología Algebraica estos dos son de gran ayuda: Croom's "Conceptos Básicos de la Topología Algebraica" y Sato/Hudson "Topología Algebraica intuitiva". A nivel de posgrado estándar de las referencias son Hatcher's "Topología Algebraica" y Bredon's "Topología y Geometría", tom Dieck's "Topología Algebraica" junto con Bott/Tu "Formas Diferenciales en Topología Algebraica."

Para entender realmente el clásico e intuitiva motivaciones de la moderna geometría diferencial debe maestro de las curvas y superficies de libros como Toponogov's "Geometría Diferencial de Curvas y Superficies" y hacer la transición con Kühnel's "Geometría Diferencial - Curvas, Superficies, Colectores". Bueno de otros textos clásicos son Kreyszig "Geometría Diferencial" y Struik's "Conferencias sobre la Clásica Geometría Diferencial".

Para la moderna geometría diferencial no puedo enfatizar lo suficiente como para estudiar cuidadosamente los libros de Jeffrey M. Lee "Colectores y la Geometría Diferencial" y Livio Nicolaescu's "la Geometría de los Colectores". Ambos son profundas, legible, completa y cubrir una gran cantidad de temas con un estilo muy moderno y de notación. En particular, Nicolaescu es mi favorito. Para la Geometría de Riemann yo recomendaría Jost's "Geometría de Riemann y Geométricas Análisis" y Petersen's "Geometría de Riemann". Una buena introducción de la Geometría Simpléctica es Cannas da Silva "Conferencias sobre la Geometría Simpléctica" o Berndt's "Una Introducción a la Geometría Simpléctica". Si usted necesita algunas se encuentran los grupos y álgebras de el libro de Kirilov "Una Introducción a la Mentira Groops y Álgebras de Lie" es bueno; para aplicaciones a la geometría de los mejores es Helgason's "Geometría Diferencial - Mentira Grupos y Simétrica de los Espacios".

PARA las TONELADAS DE RESOLVER PROBLEMAS DE GEOMETRÍA DIFERENCIAL el mejor libro que, por lejos, es el reciente volumen por Gadea/Muñoz - "Análisis y Álgebra en Diferenciables Colectores: un libro para estudiantes y profesores". A partir de los colectores a la geometría de riemann y paquetes, junto con la increíble resumen de los apéndices de la teoría de la revisión y de las tablas de fórmulas útiles.

EDITAR (AÑADIDO): sin Embargo, yo diría que una de las mejores introducciones a los colectores es la antigua unión soviética libro publicado por el MIR, Mishchenko/Fomenko - "Un Curso de Geometría Diferencial y Topología". Se desarrolla todo, hasta de $\mathbb{R}^n$, curvas y superficies para llegar a lisa colectores y un MONTÓN de ejemplos (Mentira grupos, clasificación de superficies, etc). También está lleno de un MONTÓN de figuras y de los clásicos dibujos de cada construcción, dando un muy visual y geométrica de la motivación. Incluso se desarrolla la geometría de Riemann, de Rham cohomology y cálculo variacional en los colectores muy fácilmente y sus explicaciones son muy abajo a la Tierra. Si usted puede obtener una copia de este título para un precio barato (el enlace de arriba te envía a Amazon marketplace y no son baratos "como nuevo" copias) creo que no vale la pena. Sin embargo, ya que su tratamiento es un poco de fecha, el tipo de formulación algebraica no se usa (olvídate de pullbacks y functors, como Tu o Lee mención), es por eso que una vieja moda geométrica tratamiento puede ser muy útil para complementar la moderna títulos. En la final, no debemos olvidar que los maestros antiguos eran mucho más visual de una interfaz intuitiva que el moderno abstracto enfoques de la geometría.

NUEVO!: el libro de Mishchenko/Fomenko, junto con su compañero de problemas y soluciones, ha sido recientemente componer y reproducido por Cambridge Scientific Publishers! El original Soviética ediciones todavía puede ser comprado por un mucho más barato premio a través de la URSS con los editores (yo tengo mi copia de esa manera, ya que tiene distribución en España).

Si usted está interesado en el aprendizaje de la Geometría Algebraica recomiendo los libros de Amazon lista. Están en el orden recomendado para aprender desde el principio por sí mismo. En particular, a partir de esa lista, un camino rápido para entender básicos de la Geometría Algebraica sería leer Bertrametti et al. "Conferencias sobre Curvas, Superficies y Variedades Proyectivas", Shafarevich's "Básicos de la Geometría Algebraica" vol. 1, 2 y Perrin's "la Geometría Algebraica de una Introducción". Pero entonces usted está entrando en el mundo de álgebra abstracta.

Si usted está interesado en la Geometría Compleja (Kähler, Hodge...) recomiendo Moroianu's "Conferencias sobre Kähler Geometría", Ballmann's "Conferencias sobre Kähler Colectores" y Huybrechts' "Geometría Compleja". Para conectar este con el Análisis de Varias Variables Complejas recomiendo probar Fritzsche/Grauert "De Holomorphic Funciones a los Complejos Colectores" y también de los Pozos' "Análisis Diferencial en los Complejos Colectores". Después, conectar esto con la geometría algebraica, tratar de, en este orden, Miranda's "Curvas Algebraicas y las Superficies de Riemann", Mumford's "la Geometría Algebraica - Complejo de Variedades Proyectivas", Voisin"s "Teoría de Hodge y Compleja Geometría Algebraica" vol. 1 y 2, y Griffiths/Harris "los Principios de la Geometría Algebraica".

Usted puede ver su tabla de contenidos de Amazon. Espero que esto ayude... ¡buena suerte!

Answer 2

Para la topología diferencial, me gustaría añadir la dualidad de Poincaré a algo que usted puede querer saber. Un buen libro de texto es Madsen y Tornehave del De Cálculo para Cohomology. Otro buen libro es John Lee la Introducción a la Suave Colectores.

Para la geometría diferencial, yo realmente no conozco a ningún buen textos. Además de la norma de Spivak, el otro canónica elección sería Kobayashi-Nomizu los Fundamentos de la Geometría Diferencial, que no es en absoluto fácil. Hay un nuevo libro de Jeffrey Lee llamados Colectores y la Geometría Diferencial en el AMS de Estudios de Posgrado de la serie. No he mirado personalmente en profundidad, pero tiene algunas críticas decente. Cubre una gran franja de la topología diferencial, y también la teoría básica de las conexiones. (Como comentario, si te gusta hacer los cálculos, Kobayashi original de papel "Teoría de las conexiones", no es muy difícil de leer, y puede ser un buen punto de partida antes de pasar a algunas de las más especiales-tema/avanzado de textos como Kolar, eslovaco, y Michor del Natural de las operaciones en la geometría diferencial.)

Un libro que he disfrutado y se encontró útil (aunque no tanto como un libro de texto) es Morita de la Geometría de formas diferenciales.

Yo no puedo ayudarte con la geometría algebraica.

Answer 3

Yo estoy haciendo exactamente lo mismo que tú ahora mismo. Soy auto-aprendizaje diferencial topología y la geometría diferencial. A esos fines, realmente no puedo recomendar, John Lee "Introducción a la Suave Colectores" y "de Riemann Colectores: Una Introducción a la Curvatura" bastante alto. "Suave Colectores" cubre el Teorema de Stokes, el teorema de de Rham y más, mientras que "Riemnannian Colectores" cubre las conexiones, métricas, etc.

La atención al detalle que Lee, escribe con tan fantástica. Cuando la lectura de sus textos que usted sabe que usted está aprendiendo las cosas de la manera estándar con y sin omisiones. Y, por supuesto, lo mismo va para sus pruebas.

Además, los dos libros son el segundo y el tercer triology (el primero en ser su "Introducción a Topológico Manifold"), por lo que en realidad estaban destinados a ser leídos en este orden.

Por supuesto, también estoy de acuerdo en que Guilleman y Pollack, Hirsch, y Milnor son grandes suplementos, y probablemente va a destacar algunos de los aspectos topológicos que Lee no entra en.

Answer 4

Como los otros carteles, creo que los libros de Lee son fantásticos. Yo empezaría con su Introducción a colectores de Lisa.

Para la geometría diferencial, iría a sus Múltiples de Riemannian y luego seguir con de Carmo geometría de Riemann. (Es lo que hice).

Topología diferencial, después de Lee Múltiples lisos, sugiero Formas diferenciales en topología algebraica por Bott, Tu y nada (y todo) por Milnor.

Answer 5

Guillemin y Pollack "Topología Diferencial", es la más amable de introducción al tema que usted podría esperar. Es una excelente no-libro del curso. Buenos libros complementarios sería Milnor de la "Topología de una diferenciable punto de vista" (mucho más breve), y Hirsch "Topología Diferencial" (mucho más elaborado, centrándose en la clave de la analítica teoremas).

Para la geometría diferencial es mucho más que un cajón de sastre, ya que realmente depende de donde usted quiere ir. Siempre he visto Ehresmann conexiones como la noción fundamental de la conexión. Pero que se adapte a mis gustos. Pero no sé mucho en el camino de la gran auto-aprendizaje de la geometría diferencial de los textos, que está todo bastante peculiar con un interés especial de los libros de texto o de pregrado a nivel de agarrar las bolsas de la luz temas. No he pasado cualquier cantidad importante de tiempo con la Spivak libros así que no me siento cómodo dar algún consejo sobre ellos.