Reflexión sobre un círculo

Question

Dados dos puntos "a" y "B" fuera de un círculo de centro "O". Dónde está el punto X en el círculo, tal que AX + XB es el menor posible?

Para el problema "Dados dos puntos "a" y "B" en el mismo lado de una recta dada. Dónde está el punto X en la línea, tal que AX + XB es la más corta posible", no hay que engañar de que refleja uno de los puntos sobre la recta dada, digamos que el punto a, y, a continuación, el punto X es la intersección de la línea a'B con la línea dada. Pero no he encontrado una manera de usar el truco a esta variación que los cambios de la línea de un círculo...

Es allí una manera de resolver el problema sin necesidad de largos cálculos? Algo así como el truco de los puntos y una línea recta?

Answer 1

$|AX|+|XB|$ más corta posible implica que los $OX$ biseca el ángulo de $AXB$ o $A$ $X$ $B$ acuéstese sobre una línea recta con $X$ $A$ $X$ (si se repite: la normal en $X$ ha bisecar $AXB$, entonces se cumple para cualquier curva suave, no sólo un círculo).

Para ver esto, supongamos que el ángulo no es dividido o no en la misma línea recta. Reemplazar el círculo con la línea recta tangente al círculo en $X$. Y ahora estoy probablemente trampa: mover $X$ un poco en la dirección correcta a lo largo de la línea de manera que la suma de las distancias disminuye (como saben por el método de reflexión) y comprobar que si que lo movió a lo largo del círculo, la suma de las distancias iba a cambiar sólo un poco diferente, es decir, no por ello deja de disminuir. [Propiamente hablando, estamos calculando la derivada de $|AX|+|XB|$ en una forma geométrica. Espero no despertar el cálculo de la inquisición :) ]

edit: me olvidé de la línea recta en la posibilidad

Answer 2

Otra forma de ver la interseccion de la propiedad de user8268 la respuesta: El conjunto de puntos con $AX+XB=k$ es una elipse con focos $A,B$. Aumentar el $k$ hasta el de menos valor por el cual hay un punto de $X$ sobre el círculo y también en la elipse. Solo hay un punto, ya que si no fueron dos, $P_1,P_2$, $k$ valor podría ser disminuido un poco (utilizando algún punto entre el $P_1,P_2$ en la elipse para dar la longitud de la suma de $k'<k$). Una elipse tiene la propiedad de que los dos segmentos de los focos a un punto de $X$ en la elipse hacer de la igualdad de ángulos con respecto a la normal a la elipse en $X$, por lo que desde la elipse es tangente al círculo en $X$ hemos deseado reflexión de la propiedad (la igualdad de los ángulos de incidencia y reflexión).

Nota: La parte anterior de la construcción depende no sólo de $A,B$ estar fuera del dado círculo, sino también en todo el segmento de $AB$ está fuera de él, así que un pequeño suficiente elipse no cumple con el círculo.

Otro asunto es, dados los puntos de $A,B$ y el círculo, para construir el punto de $X$. Reexpresado: teniendo en cuenta los puntos de $A,B$ fuera de un círculo, la construcción de la (menor) de la elipse con focos $A,B$ y tangente al círculo. He intentado esto geométrica y analíticamente sin éxito, y no sé si en general es una "edificable" punto (regla y compás).