Prueba de $ x (x+1) $ es un número par por el método de prueba de la contradicción

Question

Demostrar que $ x(x+1) $ es siempre uniforme por el método de la contradicción .

Supuse que $ x(x+1) = 2k + 1 $ como un entero impar donde $ k $ es un número entero

Añadir $1$ a ambos lados, obtenemos $ x (x+1) + 1 = 2k + 1 + 1 $

$ x (x+1) + 1 = 2(k + 1) $

es decir $2$ divide el lado izquierdo. ¿Cómo puedo obtener una contradicción? Por favor, guía.

Answer 1

Supongamos que el $x(x+1)$ es impar, entonces todos sus factores primos son impar. Así que si $x$ es impar, $x+1$ no lo es: Contradicción...

Answer 2

Una forma de hacerlo es considerar dos casos: $x$ es incluso, digamos $x=2l$ entonces $4l^2+2l+1=2(k+1)$ , lo que implica $2|1$ una contradicción. ¿Puedes hacer el otro caso ( $x$ es impar, pon $x=2l+1$ y conectarlo).

Answer 3

En la contradicción utiliza esto: Si $ab$ sea un número impar entonces $a$ y $b$ ambos son números de impar.

Answer 4

Parece una pregunta extraña ya que el resultado es muy fácil de demostrar sin usar la contradicción. Pero de todos modos. . .

He aquí un esbozo de una posible prueba. No has dicho cuáles son los números $x$ así que vamos a suponer que quieres demostrarlo para enteros positivos. Supongamos que $x(x+1)$ no siempre es uniforme: es decir, es impar para algunos $x$ . Elija el más pequeño de estos $x$ . Desde $x(x+1)$ es impar, $x(x+1)-2x$ es impar menos par y por lo tanto también impar, es decir, $$(x-1)x$$ es impar. Pero esto contradice la minimidad de $x$ .

Quedan un par de detalles por rellenar, a ver cómo te va.