¿Si $A \hookleftarrow B \to R$ cada contiene $R$, es $R\to A\otimes_B R$ inyectiva?

Question

En esta pregunta, todos los anillos y álgebras son conmutativo con identidad.

Deje $R$ ser un anillo, y deje $A$ $R$- álgebra con un $R$-subalgebra $B$. Supongamos que tenemos una $R$-álgebra homomorphism $\phi: B\to R$; podemos formar el producto tensor $A\otimes_B R$. Mi pregunta es:

Si la estructura de los mapas de $R\to B$ $R\to A$ son inyectiva, es el mapa de $R\to A\otimes_B R$ inyectiva?

Mi intuición me dice que Sí: el producto tensor $A\otimes_B R$ es un cociente $A / (b-\phi(b): b\in B)$, y desde $\phi: B\to R$ es un anillo homomorphism la preservación de los elementos de $R$, es difícil ver cómo este ideal nunca podría contener un elemento de $R$. Pero por supuesto que no es suficiente para seguir adelante.

Estoy particularmente interesado en el caso de que $A = R[x_1,\ldots,x_n]$ $B = R[x_1,\ldots,x_n]^G$ para algunos de los subgrupos $G\subseteq S_n$, por lo que si sería de ayuda para utilizar el hecho de que $A$ es un polinomio de anillo, entonces por todos los medios, por favor hacer.

Answer 1

Esto es falso. El ideal de $(b - \phi(b))$ $A$ puede contener $1 \in R$ tan pronto como algunos de los $b - \phi(b)$ es una unidad en $A$. Aquí es un hormigón contraejemplo.

Deje $R$ ser un campo y dejar a $B$ ser el poder de la serie ring $k[[x]]$. Deje $A$ a ser el campo de fracciones de $B$, es decir,$k((x))$, y deje $\phi : B \to R$ $k$- álgebra homomorphism que envía a $x$ a cero.

A continuación, $A \otimes_R B = A \otimes_R B / xB = A / xA = 0$ desde $x$ es invertible en a $A$. Por lo tanto el mapa de $R \to A \otimes_R B$ no es inyectiva en este caso.

En la dirección positiva, por ejemplo, es suficiente para saber que $B$ $B$- módulo de complementar $C$ dentro $A$, desde entonces

$A = B \oplus C \Rightarrow R \hookrightarrow R \oplus (C \otimes_B R) = (B \otimes_B R) \oplus (C \otimes_B R) = A \otimes_B R$.