Principio de mínima acción mediante el método de diferencias finitas

Question

Estoy leyendo Gelfand del Cálculo de Variaciones y matemáticamente todo tiene sentido para mí, tiene perfecto sentido para mí para configurar las matemáticas de extremization de funcionales y muestran que en extremizing un cierto funcional que puede acabar con las leyes de Newton (es decir, usted podría extremize arbitraria funcional $L$ & en el examen de la forma de las leyes de Newton ve que uno debe definir $L$$T - V$) & esta manera de ver las cosas requiere de ningún tipo de magia, a mí me parece como si usted acaba de encontrar una forma inteligente de hacer matemáticas que los resultados en las leyes de Newton.

Sin embargo, en libros como el de Landau uno debe asumir este mágico principio de la menor acción, usando el tipo de pensamiento similar a Maupertuis, y recuerdo que cada vez que leo alguna forma de justificación de esto siempre hay un quid punto donde ellos decían: 'porque funciona". Estoy pensando que puede ser una manera de explicar el principio de la menor acción si usted piensa de extremizing funcionales a lo largo de las líneas de Euler primero que hizo fue usar el método de diferencias finitas (como se hace en el capítulo sobre el Variacional Derivados de Gelfand, no se puede publicar un enlace por desgracia), es decir, porque usted está pensando en una funcional como una función de n variables que de alguna manera se puede incorporar el $T - V$ naturalmente en lo que estás extremizing, pero yo realmente no lo sé... estoy realmente esperando que alguien de aquí me puede dar una respuesta definitiva, a poco de pasar por lo que el proceso de pensamiento es en este principio de una vez por todas!

Hasta donde yo sé, uno puede asumir esto como un principio, como en Landau y el uso de toda esta hermosa teoría de la homogeneidad, etc... para obtener algunos resultados, o bien, una vez puede asumir que las leyes de Newton y, a continuación, utilizar el principio de trabajo virtual para derivar de Euler-Lagrange las ecuaciones, o de inicio de las ecuaciones de Hamilton y terminar con las leyes de Newton, o uno puede asumir que las leyes de Newton y establecer el cálculo de variaciones y mostrar cómo extremizing un tipo de funcional conduce a las leyes de Newton - pero yo no estoy claro sobre exactamente lo que está pasando y realmente realmente el amor un poco de ayuda con esto.

Answer 1

I) OP preguntas sobre el variacional (por ejemplo, la derivación y de las leyes de Newton) son buenas y preguntas interesantes, pero la mayoría han sido pide antes, ver, por ejemplo, este y este Phys.SE posts y enlaces en el mismo. Lagrangians no de la forma de la Energía Cinética menos la Energía Potencial se discuten en este Phys.SE post. A la pregunta de si (o no) de un conjunto de ecuaciones de movimiento tiene un principio de la acción es un duplicado de este Phys.SE post y los enlaces en el mismo. Otra de las posibles útil Phys.SE post sobre el cálculo de la variación es este uno.

II) El único ingrediente nuevo OP de la pregunta, parece ser la diferencia finita de método. Gelfand del uso de la diferencia finita método mayoría parece ser una forma alternativa para profundizar en los Euler-Lagrange fórmula para el funcional de derivados a través de la discretización. No agrega nada nuevo a la teoría del continuo.

Por ejemplo, supongamos por simplicidad considerar el punto de la mecánica (como oposición a la teoría de campo). Un continuo de formulación para el punto de la mecánica se refiere aquí a un tiempo continuo variable $t$ (comparado con un tiempo discreto de la variable). Deje que se dé una continuidad de Lagrange $L(q,v,t)$ que depende de tres argumentos: la posición $q$, la velocidad de $v$ y el tiempo de $t$. Deje $\frac{\partial L}{\partial q}$ $\frac{\partial L}{\partial v}$ denotar la derivada respecto. el primero y el segundo argumento, respectivamente, y así sucesivamente.

Deje que nos aproximan a la continuidad de la acción funcional

$$\tag{1} S[q]~:=~\int_{0}^{T} \!\! dt~L(q(t),\dot{q}(t),t)$$

a través de los siguientes datos discretos expresión

$$\tag{2} S(q_0, \ldots q_{N})~:=~\Delta t\sum_{n=0}^{N-1} L(q_n,v_n,t_n), $$

donde

$$\tag{3} \Delta t~:=~ \frac{T}{N}, \qquad t_n ~:= n \Delta t, \qquad q_n~:=~q(t_n),\qquad v_n~:=~\frac{q_{n+1}-q_n}{\Delta t}.$$

En eq. (3) hemos elegido el avance diferencia de $v_n$. Obviamente, otras opciones son posibles. Entonces

$$\frac{1}{\Delta t}\frac{\partial S(q_0, \ldots q_{N})}{\partial q_n} $$ $$\tag{4}~=~ \frac{\partial L(q_n,v_n,t_n)}{\partial q} -\frac{1}{\Delta t}\left[\frac{\partial L(q_n,v_n,t_n)}{\partial v}-\frac{\partial L(q_{n-1},v_{n-1},t_{n-1})}{\partial v} \right], $$

donde $n\in\{1,2, \ldots,N-2, N-1\}$. Eq. (4) es una versión discretizada de la de Euler-Lagrange fórmula

$$\tag{5} \frac{\delta S[q]}{\delta q (t)}~=~\frac{\partial L(q(t),\dot{q}(t),t)}{\partial q(t)} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L(q(t),\dot{q}(t),t)}{\partial \dot{q}(t)} $$

para el funcional derivado$^1$. El funcional derivado (5) cumple por definición la siguiente variación infinitesimal de la fórmula

$$\tag{6} \delta S[q] ~:=~S[q+\delta q]- S[q]~=~ \int_{0}^{T} \!\! dt~\frac{\delta S[q]}{\delta q (t)}\delta q(t). $$

--

$^1$ La existencia de funcionales derivados depende de la manera apropiada imponen las condiciones de contorno, que no hemos discutido. En la llanura inglés: Tenemos que integrar por parte en algún momento.

Answer 2

Principios de acción generalizan a situaciones donde las leyes de Newton ya no son válidas, la mecánica cuántica y relatividad general, siendo los ejemplos más evidentes. Por lo tanto son una asunción fundamental más sólida para hacer que las leyes de Newton, que son un subconjunto de las posibles leyes de la dinámica permitido por los principios de acción.

Answer 3

El principio de acción estacionaria puede ser motivada a partir de la mecánica cuántica. En la mecánica cuántica no tiene un resultado, sino un conjunto de ellos con diferentes probabilidades. La contribución de una ruta de acceso a la probabilidad de que un resultado se relaciona con la ruta integral de algo que depende de la acción. En cierto sentido, el clásico principio de acción estacionaria recoge el "más probable" ruta de acceso en lugar de considerar a todos ellos como los que tenemos en la mecánica cuántica. Filosóficamente esta justificación tiene sentido debido a que la mecánica clásica no es la realidad; la mecánica cuántica es la realidad de la mecánica clásica y es sólo una aproximación. Por lo tanto, tiene sentido que la justificación del principio de acción estacionaria trata de una aproximación de la mecánica cuántica (es decir, considerando solo 1 ruta de acceso en lugar de todas las rutas). Sin embargo, el uso de esta justificación sigue siendo un misterio que, históricamente, el principio de acción estacionaria vino antes de la mecánica cuántica...