Hay dos tipos de dilatación del tiempo:
Uno porque el otro reloj se mueve rápido con respecto a mí (relatividad especial).
Otra porque el otro reloj está en un campo gravitatorio más fuerte (relatividad general), o acelerando rápidamente (principio de equivalencia).
Entonces, ¿estos dos efectos son totalmente independientes? ¿Es posible derivar el caso de la relatividad general del caso de la relatividad especial?
Permítanme ampliar un poco la respuesta de Ben.
Empezando por la relatividad especial, lo fundamental es entender que todas las cosas raras, y de hecho las transformaciones de Lorentz, se derivan de una propiedad llamada métrica. Si tienes dos puntos en el espaciotiempo separados por ( $\mathrm dt,~\mathrm dx,~\mathrm dy,~\mathrm dz$ ), la métrica nos indica cómo calcular el intervalo entre ellas. Para SR esto es:
$$ \mathrm ds^2 = -\mathrm dt^2 + \mathrm dx^2 +\mathrm dy^2 +\mathrm dz^2 $$
El intervalo $\mathrm ds$ se denomina elemento de línea y es un invariante, es decir, cada observador, independientemente de la velocidad a la que se mueva, calculará el mismo valor para $\mathrm ds$ .
La ecuación para el elemento de línea debería recordarte al teorema de Pitágoras, y de hecho la única diferencia es que el signo de $\mathrm dt^2$ es negativo, no positivo. Esta diferencia de signo es la responsable de efectos como la dilatación del tiempo. Este es el punto importante: esta métrica es todo lo que necesitas para calcular la dilatación del tiempo.
Consideremos ahora la relatividad general y el efecto de la gravedad. Pero primero permítanme reescribir la ecuación de la relatividad especial para el elemento de línea en coordenadas polares:
$$\mathrm ds^2 = -\mathrm dt^2 +\mathrm dr^2 + r^2 (\mathrm d\theta^2 + \sin^2\theta~\mathrm d\phi^2) $$
y ahora escribiré la ecuación para el elemento de línea cerca de un agujero negro, es decir, la métrica de Schwarzschild:
$$ \mathrm ds^2 = -\left(1-\frac{2M}{r}\right)\mathrm dt^2 + \frac{\mathrm dr^2}{\left(1-\frac{2M}{r}\right)} + r^2 (\mathrm d\theta^2 + \sin^2\theta~\mathrm d\phi^2) $$
Si se comparan estas dos ecuaciones debería ser inmediatamente obvio que son muy similares, y de hecho si se deja que la masa del agujero negro, $M$ , ir a cero o si te alejas mucho, así que $r \rightarrow \infty$ entonces las dos ecuaciones son iguales.
Esto significa que la métrica GR incluye todo lo que predice la métrica SR, pero le añade más. Así que no hay distinción entre la dilatación temporal debida sólo a la velocidad y la dilatación temporal debida a la gravedad. La métrica GR es una extensión de la métrica SR e incluye ambas. Sin embargo, permítanme reforzar las advertencias de Ben: generalmente no es útil intentar separar la dilatación temporal debida a la velocidad y la dilatación temporal debida a la gravedad.
No es cierto que la dilatación gravitatoria del tiempo se base en la intensidad del campo gravitatorio. Por el principio de equivalencia, el campo gravitatorio es igual a cero para cualquier observador inercial, y puede tener cualquier otro valor que se desee para algún otro observador adecuadamente elegido. La dilatación gravitatoria del tiempo se basa en el campo gravitatorio potencial .
Ni la dilatación temporal cinemática ni la gravitatoria requieren la relatividad general. Se puede tener un campo gravitatorio y un potencial gravitatorio en un espaciotiempo plano, por ejemplo, para un observador dentro de un ascensor que acelera. Existen argumentos relativistas especiales directos que derivan la dilatación gravitacional del tiempo a partir de experimentos mentales que implican ascensores en aceleración.
Ni la dilatación del tiempo cinemática ni la gravitatoria son fundamentales. Lo que es fundamental es la métrica. Cualquiera de los dos efectos puede calcularse a partir de la métrica.
La dilatación gravitatoria del tiempo no puede ser fundamental porque el potencial gravitatorio ni siquiera está bien definido a menos que el espaciotiempo sea estático. Por ejemplo, los espaciotiempos cosmológicos no son estáticos.
Un buen libro de divulgación que explica muy claramente la situación fundamental de la métrica es Geroch, General Relativity from A to B.
Sí, puedes resolver con una fórmula muy sencilla la velocidad equivalente a la que tendrías que ir para tener la misma dilatación temporal que la causada por un campo gravitatorio.
Todo lo que necesitas es cuántos radios de Schwarzschild te separan de la masa (esto te da esencialmente la profundidad a la que te encuentras en un campo gravitatorio). Una vez que tengas eso, obtén la raíz cuadrada de cuántos radios de Schwarzschild y obtendrás un número que es equivalente a cuánto más rápido va la luz que el objeto que se mueve por la dilatación del tiempo.
Por ejemplo:
Si un objeto está a 9 radios de Schwarzschild de la Masa experimentará la misma dilatación temporal que un objeto que vaya a 3 veces menos la velocidad de la luz.
Lo mismo para 4 radios de Schwarzschild y la velocidad de la luz 2 veces más rápida.
se reduce a $$x=y^2$$
Para llegar a esta fórmula, primero se parte de la fórmula de dilatación gravitatoria del tiempo donde:
$$ T_1=T\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}} $$
y en lugar de introducir $r$ para el radio sustituimos $r$ con la fórmula del radio de Schwarzschild $(2GM/c^2)x$ con un $x$ al final que representa a cuántos radios de Schwarzschild se aleja del centro. Esto hace que la fórmula se vea como:
$$ T_1=T\sqrt{1-\frac{2GM}{\frac{2GM}{c^2}xc^2)}} $$
Lo que simplificado se reduce a:
$$ T_1=T\sqrt{1-\frac{1}{x}} $$
y si haces $T=1$ entonces usted acaba de obtener
$$ T_1=\sqrt{1-\frac{1}{x}} $$
Es muy parecido al que aparece en muchos libros de física $=\sqrt{1-r_0/r}$ donde $r_0$ es igual al radio de Schwarzschild y entonces $r$ es igual al radio desde el centro. La fórmula anterior sólo lo hace ligeramente más simple debido a hacer $r_0$ igual a 1 y $x$ igual a cuántos radios dista un punto observado del centro de la masa.
Esa es la parte de la dilatación temporal gravitatoria de esta relación. Ahora para el lado de la dilatación del tiempo de la velocidad utilizamos una metodología similar y comenzamos con:
$$ T_0=T\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} $$
Ahora hacemos $T$ igual a 1, $v$ igual a uno, y $c$ a $y$ porque ahora vamos a hacer $c$ una variable.
$$ T_0=\sqrt{1-\frac{1}{y^2}} $$
Lo que ve ahora " $1/y^2$ " muestra la velocidad como una constante 1 y $y$ representa cuánto más rápido va la luz que la constante de velocidad de 1. Si lo anterior mostrara la fracción como $1/5^2$ entonces sería lo mismo que decir que un objeto va a una velocidad 1/5 de la velocidad de la luz. Así que ahora si resolvemos las fórmulas de dilatación de la velocidad y el tiempo gravitacional para que podamos ver cómo dilatan el tiempo para llegar al mismo resultado:
$$ \sqrt{1-\frac{1}{x}}=\sqrt{1-\frac{1}{y^2}} $$
Podemos simplificarlo como sigue
$$ x=y^2 $$
De un ingeniero: Interpreté la respuesta desde el punto de vista práctico de cómo combinar los efectos de la dilatación temporal relacionada con la velocidad y la dilatación temporal relacionada con la gravedad. Se pueden tratar de forma independiente, y luego o bien se multiplican los factores juntos o, como los factores suelen estar muy próximos a 1, se pueden sumar (factores 1). Por ejemplo, en el caso de los satélites GPS, la velocidad es alta, por lo que el reloj funciona un poco más despacio mediante la ecuación $t/t_0 = 1/\sqrt{1-v^2\over c^2}$ (unos 7 microsegundos al día). Pero la gravedad es menor, por lo que el reloj funciona unos 45 microsegundos/día más rápido: Hay que resolver $t/t_0=1/\sqrt{1-2GM\over rc^2}$ para la superficie y la órbita y restar la diferencia. El resultado neto es que construimos relojes que irían 45 - 7 = 38 microsegundos al día más lentos aquí en la Tierra, pero funcionan perfectamente en la órbita GPS.
En cuanto a cómo se relacionan ambos factores, yo lo veo conceptualmente como que la gravedad en la superficie de un planeta es el equivalente energético de la energía cinética para escapar de la tierra. La energía cinética es $1/2 mv^2$ y la energía potencial gravitatoria de un objeto alejado de la Tierra es $GMm\over r$ . Si se igualan, se obtiene la velocidad de escape, o el valor de $v^2 = {2GM\over r}$ . Es decir, en lugar de ser la energía cinética la que ralentiza el reloj interno del objeto, es la energía potencial gravitatoria la que ralentiza el reloj. Cuando las energías son iguales, el impacto sobre el reloj interno es el mismo.
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¿Le interesaría saber que ambas formas de dilatación del tiempo están causadas por el mismo fenómeno?